[전자소자] MOS게이트 전압 Vg(for depletion, threshold, inversion)
[전자소자] MOS 밴드 다이어그램(for gate Voltage)
Bulk Potential $E_{i}$ 와 $E_{F}$의 차이에서 Bulk Potential을 사용할 수 있습니다. 두 에너지 차이를 $q\phi _{B}$라고 합니다. p 타입에서 $E_{F}$가 더 아래에 있으므로 양수가 나오며 n 타입에선 음수가 나올
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이전 글에서 게이트 전압에 따른 에너지 밴드와 전하를 대략적으로 알아보았습니다.
앞선 세 가지 상황 중 첫 번째인 Accumulation부터 수식적으로 알아보겠습니다.
Surface Accumulation
앞서 배웠듯 $V_{g}<V_{fb}$ 인 경우 입니다.
게이트에 가한 전압 $V_{g}$ 는 $V_{g}=V_{fb}+V_{OX}+\phi_{s}$ 였습니다.
에너지 밴드로 생각한다면 처음 전압을 가하지 않은 상태($E_{F}$가 일정한 상태)에서 전압을 가해 형태가 변화했습니다. 즉 metal의 $E_{F}$와 Si의 $E_{F}$의 차이가 가한 전압만큼임을 알 수 있습니다. 물론 에너지의 단위이니 $qV_{g}$라고 해야겠죠.
$V_{g}=V_{fb}+V_{OX}+\phi_{s}=\frac{E_{Fm}-E_{Fs}}{q}$
$p_{s}=N_{a}e^{-q\phi_{s}/kT}$ 입니다? 왠진 모름…
Qacc
p-type Si body에 축적된 전하를 $Q_{acc}$라 하겠습니다.
이를 수식으로 유도해봅시다.
gate에 축적된 전하량을 +Q라 하면 $Q=C_{ox}V_{ox}$ 입니다.
반대편 Si의 전하량은 -Q 이므로 $-Q=Q_{acc}=-C_{ox}V_{ox} = -C_{ox} (V_{G}-V_{FB})$ 입니다.
surface potential은 수백mV로 이를 무시하면 $V_{OX}=V_{g}-V_{fb}$ 입니다.
$Q_{acc}=-C_{Ox}(V_{G}-V_{fb})$
이때 $C_{OX}$ 는 $\epsilon_{SiO2}/T_{OX}$ $T_{OX}$는 절연체의 두께
일반적으로 substrate의 전하라는 뜻으로 $Q_{acc}$ 대신 $Q_{sub}$을 사용하기도 합니다.
Surface Depletion
두 번째 Depletion을 살펴보겠습니다.
전하량
공핍(depletion) 영역에는 $N_{a}$ 농도의 음이온이 있을 것이기에 전하밀도는 $-qN_{a}$ 입니다.
때문에 $W_{dep}$ 만큼의 delpletion 영역의 전하량은 $-qN_{a}W_{dep}$ 일 것입니다.
전하, 전기장, potential V에 대한 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.
---사진0---
Depletion Width $W_{dep}$
공핍 영역의 너비에 대해 알아봅시다.
첫 번째 방법
으로 그래프를 이용해 보면 우선 전하밀도 그래프를 그려봅시다.
이를 적분하면 전기장
두 번 적분하면 Potential 그래프가 나옵니다.
흠.. p-type Si body 부분은 $\phi_{s}$ 이며 절연체 부분은 $V_{ox}$ 입니다.
때문에 전기장 그래프에서 Si body 부분의 넓이는 $\phi_{s}$ 와 같을 것입니다.
삼각형의 넓이를 구해보면 $\frac{1}{2}\frac{qN_{a}W^{2}}{\epsilon}$ 이며 다음과 같은 식이 나옵니다.
$\phi_{s}= \frac{1}{2}\frac{qN_{a}W^{2}}{\epsilon} $
$W=\sqrt{\frac{2\epsilon_{Si}\phi_{s}}{qN_{a}}}$
두 번째 방법
으로 조금 직관적으로 생각해봅시다.
이전 물리전자 과목에서 PN junction의 공핍 영역 너비를 구했습니다.
이때 $W_{dep}= \sqrt{\frac{2\epsilon_{Si}\phi_{bi}}{q}(\frac{1}{N_{a}}+\frac{1}{N_{d}})} $ 였습니다.
이를 현재 상황에 대입해보면 n+ p 접합과 같이 생각하며 $N_{d}>>N_{a}$ 인 상황이기에
$W=\sqrt{\frac{2\epsilon_{Si}\phi_{s}}{qN_{a}}}$ 라는 결과가 나옵니다.
Gate Voltage
이제 게이트 전압인 $V_{g}$ 를 새롭게 나타내 봅시다.
처음 $V_{g}=V_{fb}+\phi_{s}+V_{ox}$ 를 도출해냈었는데요.
$\phi_{s}$와 $V_{ox}$를 새롭게 나타내보면
$ V_{g}=V_{fb}+\frac{qN_{a}W^{2}_{dep}}{2\epsilon_{s}}+\frac{qN_{a}W_{dep}}{C_{ox}} $ 로 나타낼 수 있습니다.
Threshold Condition
세 번째로는 임계 전압을 가지는 Threshold Condition 에 대해 알아보겠습니다.
우선 언제를 임계 전압을 가지는 상태라고 할지 정해야 할텐데요.
$\phi_{s}=2\phi_{B}$ 일 때 게이트 전압 $V_{g}$를 $V_{T}$ 라고 하겠습니다.
바로 와닿지 않을텐데 그림으로 보겠습니다.
우선 $\phi_{B}$는 그림과 같이 $E_{i}-E_{F}$ 였습니다.
그리고 $\phi_{s}$는 에너지 밴드가 얼마나 밑으로 굽었는지 였는데요.
$\phi_{s}=2\phi_{B}$ 라는 말은 $E_{i}$가 $E_{F}$ 까지 굽어내려간만큼($\phi_{B}$만큼) 한 번 더 내려간다는 뜻입니다.
$E_{i}$와 $E_{F}$ 차이의 두 배 만큼 굽은 것이죠.
에너지 밴드를 보면 알 수 있다시피 계면에 전자가 존재합니다.
이때 $n=N_{a}$ 이며
또 이때의 공핍영역의 너비는 최대로, 즉 $W_{dep} $ max $=W_{T}$ 인 것입니다.
Threshold Voltage
임계 전압(임계 상태에서 게이트 전압)을 구해봅시다.
역시 Depletion 상황과 마찬가지로 $V_{g}=V_{fb}+\phi_{s}+V_{ox}$ 여기서 나아가보겠습니다.
$V_{OX}=-\frac{Q_{dep}}{C_{ox}}$ 입니다.
$\frac{qN_{a}W_{dep}}{C_{ox}}$에서
$W=\sqrt{\frac{2\epsilon_{Si}\phi_{s}}{qN_{a}}}$ 이고
$\phi_{s}=2\phi_{B}$ 인 상황이기에 전부 변환해주면
전압을 $\phi_{B}$ 를 이용해 구할 수 있기도 합니다.
식이 전부 달라 보이지만 전부 $V_{g}=V_{fb}+\phi_{s}+V_{ox}$ 에서 시작했습니다.
$V_{OX}$ 가 $ -\frac{Q_{dep}}{C_{ox}} $ 와 같고
$\frac{qN_{a}W_{dep}}{C_{ox}}$ 와 같음에서 시작하면 충분히 변환할 수 있을 것입니다.
Strong Inversion
사실 임계 전압인 상태가 이미 Inversion 된 상태이죠.
임계 전압을 넘어서 더 강하게 inversion 된 상황을 보겠습니다.
Si body의 전하량을 보면 공핍 영역의 이온으로 인한 전하와 전자로 인한 전하가 있습니다.
전자로 인한 전하량($Q_{inv}$)과 depletion으로 인한 전하량($Q_{dep}$) 이 둘을 합쳐 $Q_{sub}$ 이라 합니다.
정리
| accumulation | depletion | inversion | |
| 전하량 | $Q_{acc}=-C_{\textrm{ox}}(V_{g}-V_{fb})$ | $Q_{dep}=-qN_{a}W_{dep}$ | $Q_{inv}=-C_{\textrm{ox}}(V_{g}-V_{t})$ |