$s^{2}+2\zeta \omega_{n}s+\omega_{n}^{2}=0$ 의 근은 $\zeta \omega_{n} +- \omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1}$ 입니다.
7 steps of root locus method
특성방정식의 근을 s-plane 에 시각적으로 표현하려면 7가지 스텝을 거쳐야 합니다.
간단한 2계 시스템을 예로 설명하겠습니다.
다음과 같은 특성방정식을 가지는 싱글루프 피드백 컨트롤 시스템입니다.
$1+G_{c}(s) G(s)=1+K\frac{2(s+2)}{s^{2}+4s}$
step 1
find poles and zeros
특성방정식은 1+F(s)=0 형태로 나올 것입니다.
multiplying factor 인 K 로 나타내면 1+KP(s) = 0 으로 나타낼 수도 있습니다.
위 식에서 $P(s)=\frac{2(s+2)}{s^{2}+4s}$ 입니다.
K가 0부터 $\infty$ 까지 변할때 근의 궤적을 구해야합니다.
방정식을 poles , zeros 가 직관적으로 보이도록 바꾸면
$1+ K \frac{(s+z_{1})(s+z_{2})(s+z_{3}) \cdots (s+z_{M})}{(s+p_{1})(s+p_{2})(s+p_{3})\cdots (s+p_{n})} = 0$
로 나타납니다. (zero 는 M 개, pole은 n개)
그래프에 모든 poles , zeros 를 "x" 와 "o" 로 나타냅니다.
위 식에서 pole은 0과 -4, zero는 -2입니다.
식을 정리하면 $\prod_{j=1}^{n}(s+p_{j})+K\prod_{i=1}^{M}(s+z_{i})=0$ 입니다.
K가 0부터 무한대까지 증가할 때의 궤적을 그리는 것이므로 $K=0$ 이라면 zero에 대한 식은 전부 없어지므로 특성방정식의 근은 P(s)의 Poles 입니다.
$K->\infty$ 로 증가하면 근은 P(s) 의 zeros 입니다.
증명 위 식을 K로 나누고 K를 무한대로 보내면 pole 에 관한 식이 없어지게 됩니다.
즉 정리해보면 특성방정식 1+KP(s)=0 의 근 궤적은 K가 0에서 $\infty$ 로 증가함에 따라 P(s)의 Pole에서 시작해 P(s)의 zero 로 끝난다는 것을 알 수 있습니다.
branch 찾기
보통 P(s)의 zeros 는 s-plane 에서 무한대로 갑니다. (대부분의 함수가 zero 보다 pole 을 더 많이 가지고 있기 때문)
예를 들어 n=3 poles 와 M=1 zero 인 경우에 n-M=2 이므로 root locus에서 2개의 branches 를 가집니다. - 2 zeros at infinity
step 2
근 궤적 위치 정하기
실수 축의 근 궤적(root locus)은 홀수 개의 poles 와 zeros 의 왼쪽에 놓여야 합니다.
즉 근 궤적의 오른쪽에는 x 혹은 o 가 홀수 개 있어야 합니다.
예를 들어 $P(s)=\frac{2(s+2)}{s(s+4)}$ 이라면
pole 인 0에서의 각은 $180^{\circ}$ 이고
zero인 -2와 pole인 -4에서의 각은 $0^{\circ} $입니다.???????
pole 에서 궤적이 시작되고, zero에서 끝나기 때문에 다음과 같은 결과가 나옵니다.
이 시스템은 2개의 poles 와 하나의 zero가 있기에 1 zero at infinity 를 가집니다.
근을 알 때 gain K 구하기
위의 예시에서 $s_{1}=-1$이라는 조건이 주어졌을 때 magnitude를 이용해 K 를 구할 수 있습니다.
$F(s)=K \frac{2(s+2)}{s(s+4)}$ 이고 극좌표 형식에서 크기를 구하는 방법을 떠올려 봅시다. $|F(s)|=\frac{2K|s+2|}{|s| |s+4|}=1$ 입니다. s에 -1 을 대입해주면 K=1.5 임을 알 수 있습니다.
크기magnitude 는 시각적으로도 확인할 수 있습니다.
gain K가 1.5 일 때 $s_{1}=-1$이었고 나머지 근 $s_{2}$ 는 -4 pole 왼쪽에 있습니다.
두 번째 근의 위치는 다음 그림과 같이 -6임을 알 수 있습니다.
separate loci 의 개수
loci는 pole 에서 시작하고 zero 에서 끝나기 때문에 separate loci의 수는 pole 의 수와 같습니다. (zero의 수보다 pole 의 수가 크거나 같을 때)
root loci 는 실수축에 대칭이어야 합니다. 복소수 근은 complex conjugate roots (켤레 복소수 근)쌍으로 나타나야 하기 때문입니다.
step 3
점근선 정하기
loci는 $\sigma _{A}$와 각도 $\phi_{A}$를 중심으로 한 점근선을 따라 zeros at infinity 로 진행합니다. P(s)의 유한한 zeros 의 개수, M이 poles 의 개수 n보다 적을 때 N = n - M 에서 N 개의 loci 섹션은 zeros at infinity 로 끝나야 합니다. K가 무한대로 감에 따라 loci 섹션은 점근선을 따라 zeros at infinity로 진행됩니다.
점근선의 중심은 실수 축 위에 있는 한 점 $\sigma_{A}$ 입니다. 이때 $\sigma_{A}$ 는 (P(s)의 pole 들의 합-P(s)의 zero 들의 합)/(n-M) 입니다.
