[자동제어|제어공학] Root Locus 개념, 그리기 (2)

 

 

[자동제어|제어공학] Root Locus 개념, 그리기 (1)

 

이전 글에서 이어집니다.

 

step 4

허수 축을 가로지르는 점

Routh Hurwitz 방법을 이용해 허수 축을 가로지르는 지점을 찾습니다.

특성방정식에 대해 Routh table을 적으면 미지수 gain K 가 존재하는 표를 얻을 수 있습니다.

routh table로 첫번째 열의 부호 변화를 통해 우반면에 근이 존재하는지 파악할 수 있었는데요.

 부호 변화가 생기기 직전 K를 구할 수 있을 것입니다. (보통 table에서 행이 전부 0이 되는 순간)

이 말은 jw 축에 해가 존재한다는 뜻이므로 해당 우함수 식을 얻을 수 있습니다. 

이 식에서의 s 값이 바로 허수 축 (jw 축) 절편에 해당합니다.

 

 step 5

실수축의 breakaway point 찾기

step3에서 점근선을 찾아보기도 했지만 정확한 교차점을 찾진 않았습니다.

breakaway point는 gain이 최대가 되는 지점으로서 gain이 0인 pole과는 정 반대입니다.

특성방정식에서 gain K에 대한 식을 도출할 수 있습니다.

식을 그래프에 대입해 떠올려본다면 K의 값이 최대값을 가지는 지점이 바로 breakaway point 일 것입니다.

즉 $K=p(s)$ 라 한다면 미분하여 0이 되는 지점, $p'(s)=0$ 인 s 지점이 바로 breakaway point 입니다.

 

 step 6

근 궤적 시작 지점(pole)에서의 출발각 혹은
끝나는 지점(zero) 에서의 각 찾기

pole이 복소수일 때 해당 pole 에서 출발 각을 찾으려고 한다면

pole 에서 아주 가까운 점이며 근궤적 중 일부에 해당하는 점 s를 가정합니다(test point). 

pole 에서 이 점 s까지의 각이 바로 출발각 입니다.

이 점 s까지 $ pole 에서의 각도의 합 - zero 에서의 각도의 합 = 180 ^{\circ} +k360^{\circ}$ 이어야 합니다.

점 s까지 각을 어떻게 알 수 있을까요?
처음에 pole에 아주 가까운 점 s로 가정했기에 해당 pole 까지의 각으로 대체할 수 있습니다.
대체된 값으로 계산하여 각을 구할 수 있습니다.

 

 

step 7

스케치 끝내기

앞선 6개의 단계에서 그리지 않았던 부분까지 포함해 모든 영역의 root locus를 그립니다.

 

root location s와 해당 root location 에서의 K 를 알고싶다면 각을 이용하면 됩니다.

$\angle F(s) =\angle(s+z_{1})+ \angle(s+z_{2})+\cdots -( \angle(s+p_{1}) +\angle(s+p_{2}) +\cdots)=180^{circ}+k360^{\circ}$

파라미터 K 를 결정하기 위해선 $|F(s)|=1$ 임을 이용할 수 있습니다.

K * (s+z)의곱 /(s+p)의 곱 = 1 이기 때문입니다.

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정리하자면 다음과 같습니다.

예시를 통해 Root Locus 를 그려보겠습니다.

특성방정식이 $1+\frac{K}{s^{4}+12s^{3}+64 s^{2}+ 128s}=0$ 인 시스템을 생각해봅시다.

step1

모든 poles, zeros 를 찾고 나타냅니다.
pole의 개수에서 zero의 개수를 빼 zero to infinity 의 개수를 계산합니다.

step2

실수축에서 근궤적의 오른쪽에는 pole과 zero가 홀수개 있어야 합니다.
pole 에서 시작해 zero 에서 끝나도록 궤적을 그립니다. 

separated loci 의 개수는 pole의 개수와 같아야 합니다.

step3

점근선 그리기 

step4

 

step5

 

step6

 

step7