[자동제어] 시스템의 수학적 모델과 블록 다이어그램

 

 

 시스템의 수학적 모델

물리 시스템 속 다양한 미분 방정식

동작점에서의 선형 근사 모델

$y(t)-y_{0}=m(x(t)-x_{0}$

 라플라스 변환

causal system 에서만 라플라스 변환

라플라스 변환에서 s는 differential operator로 생각할 수 있음

• s → $\Large{\frac{d}{dt}}$ 미분
• $\Large{\frac{1}{s} → \int^{t}_{0}dt}$ 적분

특성방정식

미분방정식을 변환하여 $Y(s) =p(s)/q(s)$ 로 나타냈을 때
denominator polynomial $q(s) = 0$ 이라하면, 이를 특성방정식이라 부름

• 이 방정식의 근이 시간 응답의 특성을 결정하기 때문
  • 예를 들어 spring mass damper 시스템에서 $Y(s)=\frac{(s+3)y_{0}}{(s+1)(s+2)}$의 특성방정식은 (s+1)(s+2) 임
  • 특성방정식의 근은 시스템의 poles라 부름

• numerator polynomial $p(s)=0$ 의 근은 zeros 라 부름

poles에서 Y(s)는 무한대가 되고, zeros에서 함수는 zero가 됨

 

최종치 정리 final value theorem

$y(t)$ 의 steady-state 값을 알고싶을때 사용할 수 있음

y(t)에서 t를 무한대로 보냈을 때 값은 lim s→0 일때 sY(s) 와 같음

• fvt 정리를 이용해 시스템의 steady-state 값을 쉽게 구할 수 있음

 

응용

전달함수가 G(s) 일때.. 입력에 따른 값을 구할 수 있음

Y(s) = G(s)U(s) 이고
sG(s)U(s) 를 0으로 보내면 됨.

위의 스프링 매스 댐퍼 시스템에서

입력이 impulse 응답이면 U(s)=1 이기에
최종치 정리fvt 에 의하면 답은 0

입력이 step 응답이면 U(s)=1/s 이기에
fvt에 의하면 답은 1.5

 

damping ratio 제타

특성방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있음

$$s^{2}+2\zeta \omega_{n}s+\omega_{n}^{2}$$

이때 제타$\zeta$ 를 damping ratio라 하며 $\omega_{n}$을 natural frequency라 함

 

$\zeta$의 범위에 따라 특성방정식의 근의 형태가 아래 그림과 같이정해짐

>1 overdamped (overdamping)

• 특성방정식 실근이 나옴

<1 underdamped (underdamping)

• 허근이 나옴

=1 critically damped (critical damping)

• (실수)중근이 나옴

=0 undamped (undamping)

• (허수)중근이 나옴

 

이처럼 steady 구간이 아닌 transient 구간에서 서로 다른 특징을 나타냄

라플라스 변환과 s-domain을 이용한 접근 방식은 transient 및 정상상태 응답을 위한 설계에 유용하다.

특성방정식의 해가 왼쪽 평면에서 더 멀어질수록 응답이 더 빠르게 감쇠할 것. 하지만 보통 시스템에서는 여러 개의 pole이 있고 transient 응답은 모든 poles 에 의한 응답이다.

 

 Block Diagram Models

 

직렬 연결 → 곱 으로 나타나며 전달 함수의 합, 차 가능

 

블록 다이어그램에서 전달함수 구하기

• y에 대한 식, 타 변수에 대한 식을 구해 입출력으로만 구성되도록 연립해 풀이

전달함수 구하는 빠른 방법

closed-loop TF = forward path / (1+open-loop TF)

단 이때 폐루프의 전달함수는
피드백하는 함수가 빼지면(-) 1+open-loop TF
피드백 함수가 더해지면1-open-loop TF

 

block diagram reducing

꼬여있는 블록 다이어그램 reduce

피드백루프를 다른 피드백루프와 같은 지점에서 시작하도록 변형

• 전달함수를 변형해 지점을 미루거나 당기기

 

https://studentstory.tistory.com/330