풍력터빈(2) 바람이 가진 Power

추출 가능한 Power

바람에는 얼마나 많은 에너지가 들어 있을까요? 결국 에너지는 바람의 운동 에너지, 즉 $\frac{1}{2} mv^{2}$ 입니다. 결국 우리는 얼마나 많은 동력(Power)을 바람으로부터 추출할 수 있는지 이야기해야 합니다.

먼저 아래와 같은 상황을 가정해보겠습니다.
여기서 $v_{\infty}$는 어떤 것에도 방해받지 않은 바람의 속도입니다. 즉 (풍력 터빈을 설치하면 바람 속도가 변하지만) 방해받지 않은 바람과 그 안에 포함된 에너지에 대해 이야기하는 것입니다.

$v_{\infty}$ 인 이유는 장애물로부터 무한히 멀리 떨어져 있다는 이상적인 개념을 나타냅니다.

$\dot{m}$ 는 공기의 흐름 속도: 밀도 * 면적 * 속도 $\rho A v$입니다. 따라서 풍력에 포함된 Power는 $ \frac{1}{2} \dot{m}v^{2} $이므로 밀도, 면적, $v_{\infty}^{3}$에 비례합니다.
즉 Power 는 풍속의 세제곱에 비례하므로 풍속에 매우 민감하다고 볼 수 있습니다. 
$\rho$는 변수이고 압력에 따라 $\rho$도 변합니다. 실제로 상수 값이 아니지만, 계산 목적으로 약 1.225 kg/m^3로 간주합니다.
바람이 불고 있는 면적이 있다고 가정하면 A가 해당 면적이고, rho는 1.225 kg/m^3이고 , 풍속은 $v_{\infty}$ 입니다.

위와 같이 실린더 영역을 통과하는 동력이 있고 이를 추출하는 disc 형태가 있다고 가정합니다. 그리고 공기가 빠져나가면 무한히 먼 거리에 도달합니다.

지나기 전 풍속은 $v_{\infty}$ 입니다. 지날 때의 풍속은 $v$, 무한히 먼 거리의 속도를 $v_{2}$라고 합시다.

$v_{2}=v_{\infty}$라면 추출된 에너지가 없을 것이기에 $v_{2} = v_{\infty}$가 아닙니다.
에너지가 추출된 후 이므로 속도가 달라야 합니다.

이제 압력에 대해 이야기해 보겠습니다. 압력 $P_{\infty}$ 는 무한히 먼 거리에서 측정되는 정상적인 대기압입니다. disc를 통과하면 양쪽의 압력 차이가 있어야 하며 그렇지 않으면 통과하지 못할 것입니다. 왼쪽 압력을 P+, 오른쪽 압력을 P-라고 합시다. 다시 무한히 먼 거리에 도달하면 압력은 다시 $P_{\infty}$로 돌아갈 것입니다.

추력의 표현

이제 베르누이 원리를 적용하면 $\frac{1}{2} \rho v_{\infty}^{2} + P_{\infty}= \frac{1}{2} \rho v^{2} + P_{+}$와 같습니다. 마찬가지로 공기가 빠져나간 오른쪽에 대해서도 베르누이 원리를 적용할 수 있습니다. $\frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} + P_{\infty}= \frac{1}{2} \rho v^{2} + P_{-}$ 와 같습니다. 이 두 방정식을 작성했으므로 위에서 아래를 빼면 P+ - P-는 $\frac{1}{2} \rho (v_{\infty}^{2} - v^{2})$와 같습니다.

이제 추력은 (압력 차 x 면적)입니다. 따라서 추력은 $A(P^{+} - P^{-}) $는 $1/2 \rho  A  (v_{\infty}^{2} - v^{2})$와 같습니다. 추력은 또한 운동량 변화로 주어집니다. 추력에 대한 식이 두 개 있으므로 이 두 개는 같아야 하고  따라서 $\frac{1}{2} \rho (v_{\infty}^{2} - v^{2})= \rho A v (v_{\infty} - v^{2})$와 같습니다.
$v=\frac{1}{2}(v_{\infty} + v_{2})$가 나오고 즉, 풍력 터빈을 통과할 때 속도는 이전과 이후의 무한히 먼 거리에서의 속도 평균이어야 합니다.

fellow와 2개의 extremes가 있따고 생각해보면 fellow가 어떠한 hindrance없이 공기가 지나도록 합니다. 결국 v는 $v_{\infty}$ 와 같을 것이다. 그렇다면 당연하게도 이때 추출된 에너지는 없습니다. 
중간에 벽과같은 장애물이 있다고 생각해보면 마찬가지로 추출된 것은 없습니다. 

a를 이용한 추력의 표현

아마 아웃풋을 극대화할 수 있는 value를 정의할 수 있을 것입니다. 즉 이런 상황이 있을 때마다 얼마나 좋은지 알 수 있는 정량적인 성분이 필요합니다. 이는 논리적으로 Axial interference factor 라고 불립니다.

Axial interference factor, a 를 이해하려면 a가 0일 때 앞의 두 상황처럼 추출된 에너지가 0이고, a가 1이라면 최대로 추출된다고 가정합니다. v를 이용해 a를 정의하기 위하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$v=v_{\infty}(1-a)$

이제 V2를 a를 이용해 나타낼 수 있습니다.  $v_{\infty}(1-a) = \frac{1}{2}(v_{\infty}+v_{2})$ 라는 식을 얻을 수 있습니다. 우리는 V2가 무엇인지 알아내려고 했는데 V2에 대해 정리하면  $v_{2} = v_{\infty}(1-2a)$ 
이렇게 우리는 v를 a로 표현했고, V2를 a와 V 무한대로 표현했습니다.이제 우리는 동력이 얼마일지에 대한 문제에 도달했습니다. 추출될 power는 얼마나 될까요? 간단히 공기의 운동 에너지 감소분으로 확인하면 됩니다.

Power extracted = $\frac{1}{2} \rho A v (v_{\infty}^{2}-v^{2})$
$=\frac{1}{2}\rho A v_{\infty}(1-a)[v_{\infty}^{2}-v_{\infty}^{2}(1-2a)^{2}] = \frac{1}{2}\rho A v_{\infty}^{3}[4a-8a^{2}+4a^{3}] $
P는 이와 같이 나오고 이 식을 이용해 P가 언제 최대인지 알아보겠습니다.

P를 a에 대해 미분하면 $\frac{dP}{da}=3a^{2}-4a+1$
즉 a가 1과 1/3 일때 극값이고 1/3에서 최대값이 나옴을 알 수 있습니다. 따라서 최대 동력은 a가 1/3일 때만 추출할 수 있다는 다소 직관에 반대되는 결과가 나옵니다.

구한 식에 1/3을 대입하면 $P=1/2 \rho A v_{\infty}^{3} \times 16/27$ 입니다. 따라서 16/27이 최대 효율이며 나머지 요소는 바람에 포함된 힘입니다. 이건 1-T2/T1 같지 않다. 

추력(thrust)의 원리가 비효율적인 이유

처음에 어떤 종류의 디스크를 이용해 에너지를 추출한다고 가정했는데 분명히 이것은 추력 원리로 작동하지 않습니다. 추력으로 작동한다면 바람이 불어오고 여기에 있는 디스크가 밀려납니다. 바람이 추력을 가해 뒤로 밀어내고 에너지를 추출할 수 있습니다.

이 경우 바람이 가하는 힘은 얼마일까요? 힘은 운동량 변화, 즉 $\rho  A  v_{\infty}^{2}$ 입니다. 중간의 디스크가 움직이지 않는다면 바람은 v 속도로 와서 멈출것입니다. 모멘텀(운동량) 변화는 얼마나 될까요?  보통 운동량 변화가 모두 전달되는 것은 아닙니다. 따라서 힘 계수(force coefficient)가 있어야 합니다. $C_{F}$라고 합시다.
그러면 Force $=C_{F} \rho A v_{\infty}^{2}$ 이라 할 수 있습니다.

이제 디스크가 후퇴하면 가해지는 힘은 얼마일까요? 후퇴 속도를 u라고 하면 $v_{\infty}$가 $v_{\infty}-u$ 로 바뀔 것입니다. 가해지는 힘은 $C_{F} \rho A (v_{\infty} - u)^2$와 같습니다.

추출되는 power는 얼마일까요? force 곱하기 운동입니다.
이 경우 u가 0이면 추출되는 power는 0입니다. u가 v 무한대와 같은 속도로 움직여도 힘이 0이므로 동력은 0입니다. 따라서 다시  최대값을 찾기위해 미분을 해보겠습니다. 

이 경우 dp/du는 $C_{F} \rho A (v_{\infty}^{2} - 4 v_{\infty} u + 3 u^{2})$와 같습니다.
$\beta = \frac{v}{v_{\infty}}$ 로 정의하고 베타로 표현해보겠습니다. 이 다항식을 0으로 설정하여 풀면 두 개의 해가 나옵니다. 1과 1/3입니다. 베타가 1과 같다는 것은 가능성이 없으므로 1/3이 가능한 해입니다.

이것이 의미하는 바는 무엇일까요? 총 동력 출력은 얼마일까요? 1/3을 여기에 대입하면 power는  $\frac{1}{2}C_{F} \rho A v_{\infty}^{3} \cdot 8/27$과 같습니다. C는 추가적인 요소이지만, 이상적으로는 1로 가정할 수 있습니다. 이상적으로는 바람에 의해 손실된 운동량 전체가 디스크로 전달된다고 가정합니다.

그렇다 하더라도 이상적인 효율은 얼마일까요? 8/27, 즉 앞서 얻은 이상적인 효율의 절반입니다. 왜 그럴까요? 이 경우 추력 원리로 작동하기 때문입니다. 따라서 추력으로 작동하는 풍력 터빈의 경우 이상적인 효율도 달성할 수 있는 효율의 절반에 불과합니다.
따라서 고효율을 얻으려면 추력 원리를 기반으로 터빈을 작동해서는 안 된다는 것을 알 수 있습니다. 다른 방법이 있어야 합니다. 

논리를 따라가 봅시다. 먼저 바람이 통과하는 슬릿이 있고, 에너지를 추출하는 컨버가 있다고 가정합니다. 그리고 최대 효율이 16/27이라는 것을 증명했습니다. 그런 다음, 기존의 풍력 터빈이 추력으로 작동한다고 생각했습니다. 거기에서 효율이 떨어져야 한다는 것을 알았습니다. 따라서 추력 원리와 완전히 다른 작동 원리가 있어야 합니다. 오늘날의 모든 풍력 터빈은 추력이 아닌 공기 역학적 원리를 기반으로 작동합니다. 비행기나 헬리콥터의 날개가 작동하는 것과 동일한 원리이고 이를 이해해야 합니다.