[자동제어] Feedback Control System Characteristics

 

 

 

 

[자동제어/제어공학] state variable model

 

 

 Feedback control system

open loop system

• 인풋 신호가 피드백 없이 output생성

closed loop system

• 에러 신호를 만들고 controller 가 제어

 Closed loop Feedback Control System의 구성과 특성

입력 R(s) D(s) N(s) 와 출력 Y(s) 으로 구성됨

transfer Function 구하기

선형시스템이므로 중첩의 원리가 적용됨

R(s) 만 있을 때, D(s) 만 있을 때, N(s) 만 있을 때로 나누어

각각의 경우의 전달함수를 구해 더하면 시스템의 output 식을 구할 수 있음

D(s)=0, N(s) = 0
R(s)=0, N(s) = 0
R(s)=0, D(s) = 0
세 가지 경우

→$Y(s) = \large{\frac{G_{c}(s)G_{p}(s)}{1+G_{c}(s)G_{p}(s)}}R(s) + \large{\frac{G_{p}(s)}{1+G_{c}(s)G_{p}(s)}} D(s) - \large{\frac{G_{c}(s)G_{p}(s)}{1+G_{c}(s)G_{p}(s)}} N(s)$

 

에러 E(s) 또한 구해보면 E(s) = R(s) - Y(s) 이므로

→ $E(s) = \frac{1}{1+L(s)} R(s) - \frac{G_{p}(s)}{1+L(s)} D(s) + \frac{L(s)}{1+L(s)} N(s)$ 나옴

이때 제어 시스템 분석의 근본?인 loop gain L(s) 는 다음과 같음

$L(s) = G_{c}(s)G_{p}(s)$

Sensitivity

sensitivity function 또한 정의할 수 있는데

$\large{\frac{1}{1+G_{c}(s)G_{p}(s)}} = S(s)$ 로 정의하면(D(s) 와 N(s) 가 0일 때)

→ $S(s)=\large{\frac{1}{1+L(s)}}$

이렇게 나타낼 수 있음

때문에 loop gain L(s) 가 커지면 민감도는 작아짐

반대로 complementary sensitivity C(s) 도 정의할 수 있는데

$S(s) + C(s) = 1 $임.

분석
- disturbance 제거하기 위해 L 키울 수 있음
- noise 감소시키기 위해 L 줄일 수 있음
->Trade-off 특징

gain이 1보다 상당히 크면 Y(s)=R(s) 로 근사할 수 있음

하지만 그렇게 하면 많이 oscillatory 하고 unstable함

D(s) 영향이 줄긴 함 - Gp(s)의 변화에 대한 영향이 감소함(이점)

 

다시 Sensitivity를 정의하면,
process transfer function $G_{p}(s)$ 의 변화에 대한 시스템 전달함수의 변화율.

식으로 나타내면 $S(s) = \large{ \frac{\Delta T(s) / T(s)}{\Delta G_{p}(s) / G_{p}(s)}}$

정리하면 $S(s) = \large{ \frac{\Delta T(s)}{\Delta G_{p}(s)} *\frac{G_{p}(s)}{T(s)}}$

이때 전달함수 T(s) 는$ \large{\frac{G_{c}(s)G_{p}(s)}{1+G_{c}(s)G_{p}(s)} }$이므로

미분하고 계산하면 $S(s)=\large{\frac{1}{1+L(s)}} $라는 결과가 나옴

• Gc 가 Gp의 함수이면 적용 불가?
• 언제 적용되고 안되는지 모르겠음..

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 피드백 제어 시스템에서의 방해요소 

Disturbance 제거

large loop gain → rejection

방해요소 D(s)의 영향을 줄이려면 loop gain L(s)가 커져야 함

위 에러 식에서 L(s)와 관련이 있었기 때문 

방해 신호는 주로 저주파에서? - 저주파 게인 키우기

노이즈 감쇠

small loop gain

E(s) 식에서 N(s)의 영향을 줄이려면 loop gain L(s)가 작아져야 함. 

노이즈는 주로 고주파에서 - 고주파 게인 줄이기

노이즈와 에러의 관계? 에러에 대한 노이즈의 효과? 가 C(s) 인가

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 Control of the transient response 과도응답 제어

open loop system 에서 전달함수 $G(s) = \large{\frac{K1}{\tau s +1}}$ output $KaG(s)R(s)$

증폭기 Ka 있으면 전달함수$\large{\frac{ K_{a}K_{1} }{ \tau s + 1}}$

 

closed loop 에서 전달함수는 $\frac{K_{a}G(s)}{1+K_{a}K_{t}G(s)} = \frac{K_{a}K_{1}}{\tau s +1+K_{1}K_{a}K_{t}}$ 이다

분모와 분자를 $(1+K_{1}K_{a}K_{t})$ 로 나누어 time constant 가 변한 것처럼 간주하여 이해한다(open loop system 대비)

시상수(time constant)가 작을수록 응답이 더 빠르게 최종치에 도달할 것이다.

그러기 위해 분모에 있는 $K_{a}$ (증폭기 gain) 가 커져야할 것..

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 Steady State Error

steady state error 란?

보통 시스템의 목표는 steady state최종 값이 입력값에 도달하게 하는 것이다. 이때 목표치와 final value의 차이를 steady state error 라 한다

즉 E=R-Y 이고 마찬가지로 final value theorem (fvt)를 적용할 수 있다

Open loop System 의 unit step 입력에 대한 에러는 $E(s)=(1-G_{c}(s)G(s))R(s)$ 이므로

fvt를 적용하면 $1-G_{c}(0)G(0)$

 

Closed loop System 의 unit step 입력에 대한 에러는 $E(s)=\large{\frac{1}{1+G_{c}(s)G(s)}} R(s)$ 이므로

fvt를 적용하면 $\large{\frac{1}{1+G_{c}(0)G(0)}}$

폐루프 피드백 시스템이 정상상태 에러를 줄일 수 있는 신호를 넣을 수 있다??

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 Performance of Feedback Control System

과도응답, 정상상태 응답을 조절하는 것은 제어 시스템에서 큰 이점이다.

하지만 gain을 높이면 잡음이 커지듯 ...

시스템이 제시된 일을 얼마나 잘 수행하는지 판단하기 위해선 파라미터와 기준이 필요할 것이다.

 Test Input Signals

Standard test input

시스템이 어떤 시스템인지 알기 위해 standard test input 을 넣는다

여러 시스템을 비교할 수 있다 또한 많은 제어 시스템은 standard input과 비슷한 입력 신호를 경험한다.

test Signal R(s)

 

step	1/s
Ramp	1/s^2
Parabolic	2/s^3

다음과 같이 나타낼 수 있다. $r(t) = t^{n}$ 이면 $R(s)=n!/s^{n+1}$ 이다

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 Performance of Second-Order Systems

Second order Systems

$G(s)=\large{\frac{\omega_{n}^{2}}{s(s+2\zeta \omega_{n})}}$이라면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

전달함수 $T(s)=\large{\frac{\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega_{n}+\omega _{n}^{2}}}$

s-plane 에서 근의 위치와 과도 응답

이때 제타의 변화에 따라 바뀌는 응답을 확인할 수 있다.

언더댐핑 $1> \zeta$

오버댐핑 $1< \zeta$

언댐핑 $0= \zeta$

크리티컬 댐핑 $1 = \zeta$

제타가 감소할수록 허수축에 가까워지고 오버슛이 커진다.

 

Poles 가 real 값이 나오느냐(over), 복소수 값이 나오느냐(under), 두 허수가 나오느냐(un), 두 실수 중근이 나오냐(critical) 에 다름

상승시간

응답의 속도는 상승시간 $T_{r}$ 과 peak time $T_{p}$ 으로 측정할 수 있다.

underdamped system에서는 오버슛이 있으므로 100% 상승하는 데 까지의 시간은 상승시간이라한다

overdamped system에서는 오버슛이 없기때문에
10% 지점에서 90% 까지 상승하는데까지의 시간을 상승시간 $T_{r}$ 이라 한다.

P.O. 와 Settling time 구하기

Percent Overshoot (P.O.) 을 정의하는데 final value에 비해 오버슛이 얼마나 발생했는지를 의미한다.

$M_{Pt}-fv / fv *100%$

- 이때 $M_{Pt}$ 는 peak value

 

Settling time은 final value의 2% 오차 내로 유지하는데까지의 시간을 말한다.

$\tau = 1/ \zeta \omega _{n}$

settling time $T_{s} = 4\tau$

오버슛 값

$M_{Pt} = y_{ss}(1+ e^{-\zeta \pi / \sqrt{1-\zeta ^{2}}})$

percentage overshoot에 적용하면 P.O = $100e^{-\zeta \pi / \sqrt{1-\zeta ^{2}}}$

 

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 Steady state error 정리

피드백을 사용하는 근본적인 이유는 무엇일까?

cost가 증가하고 복잡해짐에도 steady state 에러를 줄이기 위함이다.

시스템의 에러는 E(s)로 정의했고 이는 다음과 같이 나타났다.

$E(s)=\large{ \frac{1}{1+L(s)}}R(s) - \large{ \frac{G_{p}(s)}{1+L(s)}}D(s) + \large{ \frac{L(s)}{1+L(s)}}N(s)$

다양한 input 에서의 Error

1. step input에서 $K_{p}=\displaystyle \lim_{ s\to 0}L(s)$, $e_{ss} = 1/(1+K_{p})$

2. Ramp input 에서 $K_{v} = \displaystyle \lim_{ s\to 0}sL(s)$, $e_{ss}=1/K_{v}$

3. Acceleration input에서 $K_{a}=\displaystyle \lim_{ s\to 0}s^{2} L(s) $, $e_{ss}=1/K_{a}$

사실 위 식이 성립하려면 L(s)에 적분이 얼마나 들어있는지에 따라 다름

즉 $1/s$ 가 step에서는 없고(type 0), Ramp에서는 $1/s$ (type 1), Acc에서는 $1/s^{2}$ (type 2)가 있어야 위와 같은 결과가 나옴

이유는 유도 과정에서 s가 소거될 수 있기에

여기서 K는 제어 시스템의 에러 상수이며 이 값들은 ess에 관여함

Non-unity feedback control system

실제로는 시스템에서 센서부분이 1이 아닐 수 있음

실제 값이 센서를 거치며 측정값에서는 다른 값이 나올 수 있기 때문

이때 K1 과 K2가 같다면 시스템을 다음과 같이 등가로 나타낼 수 있음

두 경우에서 에러 E(s)는 같음

 

ess 가 0이 나온다? type 0 system이라서??

문제에서 에러를 0으로 만드는 특정 변수값을 찾아낼 수 있어야 한다.

예시: $G_{c} = K$ 이고 $G_{p}=1/(s+2)$, Sensor 가 1이 아닌 $\frac{2}{s+4}$ 이다.
$e_{ss}$ 를 구해보면 $1- \frac{4K}{8+2K}$ 가 나오고
에러가 0이 되기 위한 K 값은 4이다.

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 Pole 과 zero의 영향

third order system의 폐루프 전달 함수가 다음과 같다하자

$ \large{ \frac{1}{(s^{2}+2\zeta s +1)(\gamma s+1)}}$

실근 1개, 복소수 근2개인 특성 방정식 이다. 이때 실근이 복소수 근의 10배 이상 차이나면 무시할만함

반대로 허수축에 가까울수록 영향이 커 무시할 수 없어짐 

zero도 멀어지면 영향이 줄어듦??

 

https://studentstory.tistory.com/329