[자동제어] state variable model

 

 

 State Variable Models

 State Variables of a Dynamic System

state variables

동적 시스템에서 시스템의 상태를 묘사하는 상태변수의 집합

시스템의 현재 상태와 신호를 알 때 시스템의 동작을 결정. 

• 상태 변수의 선택은 유일하지 않으며, 시스템을 분석하는 목적에 따라 달라질 수 있음
• 일반적으로 물리적인 의미를 가지는 변수 (예: 위치, 속도, 전류, 전압 등)를 상태 변수로 선택

 

state-space

• 미분방정식을 matrix를 이용해 표현한 방법

$\stackrel{\cdot }{x}=Ax$
이때 $x$는 벡터이며 A는 n x n matrix임

이를 시스템에 적용하면
4개의 matrices를 이용해 간편하게? MIMO(multi inputs-multi outputs)시스템 을 나타낼 수 있다.

$$\stackrel{\cdot }{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$$

$$y(t)=Cx(t)+Du(t)$$

u는 input 벡터, y는 output 벡터, x는 state

 

state space form 변환 

3계 미분방정식 시스템을 state space로 convert 하려면

1. highest order을 제외한 모든 derivative term을 새로운 변수로 재정의
2. 새로운 변수에 대해 모두 1계 미분방정식을 세움
3. matrix로 나타냄

matrix에 라플라스 적용

$X(s)=[sI-A{]}^{-1}x(0)+[sI-A{]}^{-1}BU(s)$

• I는 Identity matrix를 의미함

 

characteristic equation 특성방정식

상태공간 방정식에서 det(sI-A)=0 과 같은 식

A matrix 를 알면 근을 구할 수 있음

이또한 블록 다이어그램으로 나타낼 수 있음.

output 부터 그리는 것이 편할듯 함.

 

마무리

상태변수는 하나만이 아니며 블록 다이어그램 또한 마찬가지.

다음 글에서 controllable canonical form와 같은 몇 가지 주요 canonical form에 대해 알아볼 것.

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 다양한 state space의 표현

Controller Canonical Form

$G(S)=\frac{b_0{s}^2+b_{1}s+b_2}{s^3+a_1{s}^2+a_{2}s+a_3}$

분모와 분자에 $Q(s)$ 를 곱함

$Y(s)=(b_0{s}^2+b_{1}s+b_2)Q(s)$
$U(s)=(s^3+a_1{s}^2+a_{2}s+a_3)Q(s)$

t-domain에서 나타내면

$$y=b_0\ddot{q}+b_1\dot{q}+b_{2}q$$
$$u=\stackrel{⃛}{q}+a_1\ddot{q}+a_2\dot{q}+a_{3}q$$

$x_1=q,x_2=\dot{q},x_3=\ddot{q}$ 라고 하고 정리하면

$${\dot{x}}_1=x_2$$
$${\dot{x}}_2=x_3$$
$${\dot{x}}_3=-a_1{x}_3-a_2{x}_2-a_3{x}_1+u$$

state space로 나태내면

$$\dot{x}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -a_3& -a2& -a_1\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]u$$

$$y=\left[\begin{array}{ccc}{b}_2& b_1& b_0\end{array}\right]x$$

 

Observer Canonical Form

 

 state space to transfer function

$G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$

 

[자동제어/제어공학] Feedback Control System Characteristics