자동차 횡방향 운동학 동역학 모델

 

이번 시간에는 자동차의 횡방향 제어를 위한 운동학, 동역학 모델에 대해 알아볼 것이다.

운동학은 시스템의 운동 방식을 보여주는 것으로 
물체의 이동, 궤적, 속도, 가속도를 고려해 나타낸 방법이다.

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1. 운동학 바이시클 모델 (Kinematic Bicycle Model)

① 개요 및 가정

• 힘(Force)을 고려하지 않고, 기하학적 관계만을 이용하여 물체의 이동, 궤적, 속도, 가속도를 나타내는 방식이다. 주차와 같은 저속 주행 및 미끄러짐이 없는 상황에 적합다.
• 핵심 가정:
  1. 차량은 평면 상에서 움직인다.
  2. 타이어와 노면 사이에 미끄러짐(Slip)이 없다.
  3. 앞바퀴만 조향이 가능하다.
  4. 양쪽 바퀴를 하나로 모아 자전거(Bicycle) 형태로 간략화한 형태
  5. 자동차의 속력은 일정하다.

② 기하학적 변수 및 수식 정리

• 변수 정의: $X, Y$(기준 좌표), $\psi$(차체 회전각/요각), $\delta$(앞바퀴 조향각), $V$(속도), $L$(축거, 앞·뒷바퀴 간 거리), $\omega$(선회 각속도), $R$(회전 중심부터 뒷바퀴까지 거리, 선회 반지름)
• 뒷바퀴 기준의 회전 관계식:
  • 기하학적 삼각비 관계: $\tan\delta = \frac{L}{R}$
  • 뒷바퀴 중심 회전 가정 시 선회 속도: $\omega = \frac{v}{R}$
  • $\frac{v \tan \delta}{L}$
• 뒷바퀴 $x_r, y_r$ 기준:
  • $\dot{x}_r = v \cos\psi$
  • $\dot{y}_r = v \sin\psi$
  • $\dot{\theta} = \frac{v}{L} \tan\delta$
• 앞바퀴 $x_f, y_f$ 기준:
  • $\dot{x}_r = v \cos(\psi+\delta)$
  • $\dot{y}_r = v \sin(\psi+\delta)$
  • $\dot{\theta} = \frac{v}{L} \tan\delta$ 

다음으로는 무게중심을 기준으로 자동차가 어떻게 움직이는지 보겠다.

 

③ 횡방향 미끄러짐 각도 (Side Slip Angle, $\beta$)

• 무게 중심에서 속도의 방향은 (앞바퀴 속도 방향) 과 (뒷바퀴 속도 방향)의 중간이다.
• 때문에 자동차 차체와 각도 차이가 발생하게 된다.
• 이를 $\beta$ 라고 한다.

• 차량의 무게중심(CG)을 기준으로 제어할 때 중요하게 다루는 파라미터이다.
• 실제 자동차 무게중심에서 방향과 차체 축 방향의 차이가 발생한다. 이때 이 사이 각도를 의미한다. 
• 정의: 실제 무게중심에서의 차량 속도 방향과 차체 중심선이 이루는 오차 각도($\beta$)를 의미하며, 차량 자세 제어 알고리즘의 핵심 변수다.
• 관계식
  • $\dot{x}_c = v \cos(\psi+\beta)$
  • $\dot{y}_c = v \sin(\psi+\beta)$
  • $\dot{\theta} = \frac{v \cos \beta \tan\delta}{L}$ 

자전거 모델은 미끄러짐 없는 상황을 가정했기에
자동차가 미끄러지는 횡방향 힘이 크게 작용하는 상황에는 적합하지 않다.

때문에 이를 해결하기 위해 동역학 모델을 적용한다.

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2. 동역학 모델 (Dynamic Model)

① 개요 및 가정

• 고속 주행이나 미끄러짐이 발생하고 큰 횡방향 힘이 작용할 때 운동학 모델을 사용할 수 없다.
• 힘(Force)과 토크(Torque)를 고려하여 뉴턴의 제2법칙($F=ma$)으로 차량의 움직임을 분석하는 방식이다.
• 단순화 가정: 차량 속도 일정, 서스펜션 영향 무시, 횡방향 경사각 및 공기역학 무시.

② 횡방향 힘과 가속도 방정식

• 먼저 운동학과 마찬가지로 조향각 델타, 미끌림 베타, 속도 v가 있다.
• 그리고 추가로 자동차(바퀴)에 작용하는 힘을 고려한다.
• 작용하는 힘: 앞타이어 횡력($F_{yf}$), 뒤타이어 횡력($F_{yr}$)
• 횡방향 가속도($a_y$): 차체의 횡가속도($\ddot{y}$)와 회전으로 인한 유도 구심 가속도($V\dot{\psi}$)의 합
  • 수식: $a_y = \ddot{y} + V\dot{\psi} = V(\dot{\beta} + \dot{\psi})$ (단, Side slip angle $\beta \approx \frac{v_y}{v_x}$가 매우 작다고 가정)
  • 유도
    • side slip angle $\beta$: $\tan\beta=\frac{v_y}{v_x}$ 베타가 매우 작다 가정 
    • 각가속도
      • 선속도 $V=R\omega$
      • $v_y=\dot{y}, \omega=\dot{\psi}$ 라고 하면
      • $a_y=V \dot{\beta} + V \dot{\psi}=\ddot{y}+\omega^2 R$
      • $a_y=V \dot{\beta}+V \dot{\psi}$
• 뉴턴의 제2법칙 적용:
  • 횡방향 힘의 합: $\sum F_y = F_{yF} + F_{yR} = m \cdot a_y =  m V (\dot{\beta}+\dot{\psi})$
  • 회전 토크의 합: $\sum T_z = L_F F_{yF} - L_R F_{yR} = I_z \cdot \ddot{\psi}$ ($L_F, L_R$: 무게중심에서 각 바퀴까지 거리, $I_z$: Z축 관성모멘트)

③ 타이어 코너링 강성 (Cornering Stiffness, $C_\alpha$)

동역학 모델에서는 추가로 타이어의 미끄러짐 각도(Slip Angle, $\alpha$)를 고려해야 한다.
이를 위해 타이어 코너링 강성을 알아야 한다.

• 정의: 조향각($\delta$)과 실제 각도의 차이로 인해 횡방향 힘이 발생한다. 이 미끌림 각도($\alpha$)에 의 실제 발생 횡력($F_y$) 사이의 선형적 비례 관계를 나타내는 기울기 상수가 코너링 스티프니스($C_\alpha$)다.
  • 조향각과 실제 각의 차이(미끌림각): $\alpha = \delta - \theta$ 
  • 이 미끌림각 $\alpha$과 횡방향 힘의 관계를 나타내는 상수를 $C_\alpha$ (코너링 강성)로 정의한다. 
  • 수식: $F_y = C_\alpha \cdot \alpha$
• 노면별 특성:
  • 하지만 주행환경에 따라 상수가 비선형적으로 나타난다.
  • 예를 들어 아스팔트는 미끌림 각이 커져도 높은 횡력을 유지하지만, 빙판길은 스티프니스(기울기)가 매우 낮아 조금만 미끄러져도 횡방향 힘을 내지 못합니다.

• 코너링 강성을 이용하면 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다. 
  • $F_yf = C_\alpha f \alpha_f=C_\alpha r (\delta -\beta - \frac{l_f \dot{\psi}}{V})$
  • $F_yr = C_\alpha r \alpha_f=C_\alpha r (\beta + \frac{l_r \dot{\psi}}{V})$

이를 힘의 합과 토크의 합에 대한 식에 적용할 수 있다. 

• % 1단계: 운동 방정식
  • $F_{yf} + F_{yr} = mV(\dot{\beta} + \dot{\psi})$
  • $I_z \ddot{\psi} = l_f F_{yf} - l_r F_{yr}$
• % 2단계: 타이어 횡력 모델
  • $F_{yf} = C_{\alpha f} \alpha_f = C_{\alpha f} \left( \delta - \beta - \frac{l_f \dot{\psi}}{V} \right)$
  • $F_{yr} = C_{\alpha r} \alpha_r = C_{\alpha r} \left( \beta + \frac{l_r \dot{\psi}}{V} \right)$
• % 3단계: 상태 방정식 형태로 정리된 식
  • $\dot{\beta} = \frac{-(C_{\alpha f} + C_{\alpha r})}{mV}\beta + \left( \frac{-(C_{\alpha f}l_f - C_{\alpha r}l_r)}{mV^2} - 1 \right)\dot{\psi} + \frac{C_{\alpha f}}{mV}\delta$
  • $\ddot{\psi} = \frac{-(C_{\alpha f}l_f - C_{\alpha r}l_r)}{I_z}\beta - \frac{C_{\alpha f}l_f^2 + C_{\alpha r}l_r^2}{I_z V}\dot{\psi} + \frac{C_{\alpha f}l_f}{I_z}\delta$

 

④ 상태 공간 모델 (State-Space Model) 

다음으로 제어를 위해 상태 공간 모델로 나타내보겠다.
먼저 상태 벡터 x와 입력 u를 정의해야 한다.

• 수집된 동역학 방정식을 제어기 설계에 적합하도록 행렬 식($\dot{x} = Ax + Bu$)으로 재정리한다.
  • 상태 벡터 ($x$): $\begin{bmatrix} y & \dot{y} & \psi & \dot{\psi} \end{bmatrix}^T$ (횡변위, 횡속도, 요각, 요레이트)
  • 입력 변수 ($u$): $\delta$ (조향각)
• 앞선 수식을 행렬로 재정의 하면 다음과 같다.
  • $\dot{ \mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u}$
  • $A= \begin{bmatrix}
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & \frac{-(C_{\alpha f} + C_{\alpha r})}{mV} & 0 & \frac{-(C_{\alpha f}l_f - C_{\alpha r}l_r)}{mV}-V \\
     0& 0 & 0 & 1 \\
     0& \frac{-(C_{\alpha f}l_f - C_{\alpha r}l_r)}{I_Z} &0  & \frac{-(C_{\alpha f}l^2_f + C_{\alpha r}l^2_r)}{I_ZV} \\
    \end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}
    0 \\
     \frac{C_{\alpha f}}{mV}\\
    0 \\
    \frac{C_{\alpha f}l_f}{I_Z}\end{bmatrix}$
• 이 상태 공간 모델의 $A, B$ 행렬을 기반으로 제어 알고리즘을 설계하면, 고속 주행 상황에서도 원하는 횡방향 움직임과 차량 안정성을 확보할 수 있습니다.