[물리전자] PN junction Forward Bias에서 캐리어 농도 (Excess Carrier Concentration)

 

 
 이번 장에서는 Forward Bias에서 Carrier injection
Continuity Equation과 Diffusion Equation으로 캐리어 농도의 일반해를 구하고
Depletion edge의 소수캐리어 농도를 구해 경계 조건을 구한 후
최종적으로 Excess carrier 농도 식을 구해보겠습니다.

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Forward Bias에서 Carrier Injection

우선 가정을 합니다.
1) Steady state
2) Nondegenerately uniformly doped 1-D step junction
3) Low level injection in the quasi-neutral region 
(minority carrier concentration << majority carrier concentration) 
4) No other processes other than drift, diffusion, and thermal recombinationgeneration
 
때문에 $np$는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$np=n_{i}^{2}e^{qV/kT}$
-Law of junction

유도방법
DC bias에서 quasi-Fermi level을 이용해 n과 p를 정의했었습니다.
$n=N_{C}e^{-(E_{C}-E_{Fn})/kT}$
$p=N_{V}e^{-(E_{Fp}-E_{V})/kT}$

$$np=N_{C}e^{-(E_{C}-E_{Fn})/kT}N_{V}e^{-(E_{Fp}-E_{V})/kT}$$
$$=N_{C}N_{V}e^{-(E_{C}-E_{V})/kT}e^{(E_{Fn}-E_{Fp})/kT}$$
에너지밴드 diagram에서 쉽게 볼 수 있듯이
$E_{Fn} - E_{Fp} = qV$ 이기 때문에 다음과 같은 결과가 나옵니다.

 

Forward bias 상황에서 np는 $n_{i}^{2}$보다 큼을 알 수 있습니다.

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Continuity Equation

 

전류가 흐르는 공간을 생각해봅시다.

 

이때 박스에서 carrier 변화는 다음과 같습니다.
캐리어 변화 = 들어오는 캐리어 - 나가는 캐리어 - 박스 내부에서 재결합하는 캐리어 + 내부에서 생성되는 캐리어

이를 식으로 정리하면 캐리어 변화에 대한 미분방정식을 얻을 수 있습니다.

 

 

$\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}=-\frac{1}{q}\frac{dJ_{P}(x)}{dx}-\frac{p'}{\tau_{p}}$

이를 carrier에 대한 Continuity equation 이라 합니다. 

 

Diffusion Equation
 
minority carrier current에 대해서 diffusion current가 지배적이라 할 수 있습니다.

$J=-qD_{p}\frac{dp}{dx}$ , $J=qD_{n}\frac{dn}{dx}$

diffusion이 지배적이기에 
이전에 배운 diffusion 전류 밀도 식을 continuity equation에 대입해주면

$\frac{d^{2}p'}{dx^{2}}=\frac{p'}{D_{p}\tau_{p}}=\frac{p'}{L_{p}^{2}}$

$L_{p}=\sqrt{D_{p}\tau_{p}}$

 

$\frac{d^{2}n'}{dx^{2}}=\frac{n'}{D_{n}\tau_{n}}=\frac{n'}{L_{n}^{2}}$

$L_{n}=\sqrt{D_{n}\tau_{n}}$

이렇게 도출된 식을 diffusion equation 이라 합니다.

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이 내용을 Forward bias 상황에서도 적용할 수 있습니다.

기존 식에서 V는 built-in potential $V_{bi}$를 의미한 것이었다면
Forward bias $V_{a}$를 가한 상황에서는
V 자리에 $V_{bi}-V_{a}$ 를 대입해주면 될 것입니다.

이로서 평형 상태와 Forward bias 상황의
depletion edge $x_{P}$ $-x_{N}$에서의 소수 캐리어 농도를 알 수 있었습니다. 

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Excess Carriers in Forward Biased PN junction

 

공핍 영역의 edge에서의 값만 구해봤는데요.

그렇다면 공핍영역 이후 영역에 대한 Excess Carrier 에 대한 농도 식 또한 구해봅시다.

diffusion equation의 일반해를 구해보면 이와 같이 나옵니다.

$p'(x)=Ae^{x/L_{p}}+Be^{-x/L_{p}}$
 

Boundary Condition

식을 완성하기 위해 경계 조건을 구해봅시다.

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1. $x_{N}$, $-x_{P}$

edge ($x_{N}$ 와 $-x_{P}$)에서의 값을 구해봅시다. 

depletion edge 에서 소수 캐리어 농도
(minority carrier concentration)

공핍영역의 경계에서 캐리어 농도는 어떻게 구할 수 있을까요?

우선 depletion 영역과 P-type의 경계 지점을 $x_{p}$, 
그리고 N-type과 경계 지점을 $-x_{N}$ 이라 합시다.

$np=n_{i}^{2}e^{qV/kT}$ 임을 알았고

P-type 에서의 소수 캐리어 농도는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

유도
$n(x_{P})= \frac{n_{i}^{2}}{p(x_{P})}e^{qV/kT}=\frac{n_{P}p_{P}}{p(x_{P})}e^{qV/kT}$ 입니다.

여기서 $p_{P}=p(x_{P})$ 이므로 다음과 같은 결과가 나옵니다.
$n_{P}e^{qV/kT}=\frac{n_{i}^{2}}{N_{a}}e^{qV/kT}$

$n(x_{P})=n_{P}e^{qV/kT}=\frac{n_{i}^{2}}{N_{a}}e^{qV/kT}$

 

마찬가지로 N-type에서 소수 캐리어 농도를 구해보면

$p(-x_{N})=p_{N}e^{qV/kT}=\frac{n_{i}^{2}}{N_{d}}e^{qV/kT}$

 

이렇게 구한 소수캐리어의 경계 값을 Quasi Equilibrium Boundary Condition
혹은 Shockley Boundary Condition 이라 합니다.

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depletion edge excess carrier concentration

 

바로 위에서 depletion edge에서 소수캐리어 농도를 구했습니다.

그렇다면 excess 캐리어 농도를 바로 알 수 있는데요.
그 이유는 이미 소수 캐리어 농도를 $n_{P}$ $p_{N}$ 으로 잡았기 때문에
기존 소수 캐리어 농도를 제거해 excess 캐리어 농도를 구할 수 있습니다.

$n'(x_{P})=n_{P}(e^{qV/kT}-1)$

$p'(-x_{N})=p_{N}(e^{qV/kT}-1)$
 

이는 Excess carrier에 대한 quasi equilibrium boundary condition 이라 할 수 있겠습니다.

이처럼 경계에서 excess carrier는
V와 기존 소수캐리어 농도 n, p 에 의해 결정이 됩니다.

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2. $\infty$

그리고 무한대로 멀어진다면
소수캐리어 농도 n'과 p'은 0으로 수렴할 것입니다.

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1번과 2번 두 경계조건을 대입해주면 다음과 같은 결론이 나옵니다.

N side

$$p'(x)= p_{N}(e^{qV/kT}-1)e^{-(x-x_{N})/L_{p}}, (x>x_{N})$$

 

P side
 
$$n'(x)= n_{P}(e^{qV/kT}-1)e^{(x+x_{P})/L_{n}}, (x<-x_{P}) $$

 

이렇게 나온 Excess Carrier 에 대한 식은 앞으로 문제를 풀 때 유용하게 쓰일 예정이니
꼭 기억해두시길 바랍니다.

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