[물리전자] PN Junction depletion 영역 (Width, Capacitance)

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[물리전자] PN Junction Built-in Potential

 

 

Depletion-Layer Model

 

공핍 영역의 크기는 어떻게 될까요?

우선 전기장은 모든 곳에서 연속적이어야 하며
공핍영역의 끝에서는 0일 것입니다.
이 경계조건을 이용해 알아보겠습니다. 

P영역 경계에서
$\frac{dE}{dx}=-\frac{qN_{a}}{\varepsilon_{s}}$

$E(x)= -\frac{qN_{a}}{\varepsilon_{s}}x+C_{1}$
$=\frac{qN_{a}}{\varepsilon_{s}}(x_{P}-x)$

similarly N side
$E(x)=$
$\frac{qN_{d}}{\varepsilon_{s}}(x+x_{N})$

$N_{a}x_{P}=N_{d}x_{N}$

 

다음 Potential 또한 공핍영역의 끝에서 0이어야 하므로

P영역
$V(x)=-\int E(x)dx + D$
$=\frac{qN_{a}}{\varepsilon_{s}}(-x_{P}x+\frac{1}{2} x^{2})+D$
$=\frac{qN_{a}}{\varepsilon_{s}}(x_{P}-x)^{2}$

N영역
$V(x)=-\int E(x)dx + D$
$=\phi_{bi}-\frac{qN_{d}}{\varepsilon_{s}}(x-x_{N})^{2}$

depletion-layer width

이렇게 나온 전압 V 식에서 x=0에서 연속이어야 하므로
P영역, N영역의 V(0)이 같음을 이용해 식을 정리합니다.

그리고 Naxp = NdxN 식을 연립하면 공핍 영역 너비 식이 나옵니다.

폭 $W_{dep}= x_{P}p+x_{N} = \frac{2\varepsilon_{s}\phi _{bi}}{q}(\frac{1}{N_{a}}+\frac{1}{N_{d}}) $
즉 도핑 농도가 작은 것에 더 의존적입니다. 

one sided junction

만약 Doner의 농도가 훨씬 낮은  $N_{a} >> N_{d}$라면
$\frac{1}{N_{a}}$ 는 무시할 수 있고
결국 W는 $W_{dep}=\sqrt{\frac{2\varepsilon_{s}(\phi _{bi}+V_{r})}{qN}}$ 으로 일반화 할 수 있습니다.

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Reverse-Biased PN Junction

reverse bias에서 depletion 영역은 확장됩니다.
기존에 depletion영역의 폭을 설명하는 식을 유도해보았는데요.
인가된 전압으로 인해 $V_{r}$이 추가됩니다.

 

 

때문에 장벽은 built-in potential과 전압의 합으로 나타나게 됩니다.
$$q(\phi _{bi}+V_{r})$$

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Capacitance - Voltage Characteristics (C - V 특성)

Depletion 영역으로 인해 커패시터처럼 charge가 축적됩니다.

이때 커패시턴스 C는 다음과 같이 나타납니다.
$C=A\frac{\varepsilon_{s}}{W}$

그렇다면 PN junction에서 커패시턴스 $C_{dep}$ 도 나타낼 수 있을겁니다.
이때 Width W는 이전에 구한 식에서 다음과 같이 유도되었습니다.
$W_{dep}=\sqrt{\frac{2\varepsilon_{s}(\phi _{bi}+V_{r})}{qN}}$
대입해보면 depletion-layer capacitance를 구할 수 있습니다.

$$\frac{1}{C_{dep}^{2}} = \frac{2(\phi_{bi}+V_{r})}{qN\varepsilon_{s}A^{2}}$$

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Junction Breakdown

PN junction에는 Breakdown이 존재합니다.
이상적인 다이오드라면 reverse bias 영역에서 전류가 흐르지 않습니다.
하지만 실제로는 과도한 역방향 전압이 걸려 breakdown voltage를 넘는다면
역방향으로 급격한 전류가 흐르게 됩니다.

Breakdown에서는 Avalanching Process / Zener Process 두 과정이 존재하는데요.

제너 다이오드는 Breakdown 영역을 사용하도록 설계되었습ㄴ디ㅏ..

 

 

Peak Electric Field

PN junction 다이오드 전기장 피크치를 넘어섰을 때 Breakdown이 발생합니다.
다음 N+ P junction을 예로 봅시다.

이때 doner가 더 많고 one sided junction 이기 때문에 Na로만 판정.

전기장 E는 ~~라 할 수 있다.
breakdown voltage를 $V_{B}$라 하고 대입하면 
Peak Electric Field 는 다음과 같이 나온다.

또한 이때의 breakdown voltage는 
$V_{B}=\frac{\varepsilon_{s}E_{crit}^{2}}{2qN}-\phi _{bi}$ 이다.

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