[전자소자] MOS게이트 전압 Vg(for depletion, threshold, inversion)

 

[전자소자] MOS 밴드 다이어그램(for gate Voltage)

이전 글에서 게이트 전압에 따른 에너지 밴드와 전하를 대략적으로 알아보았습니다. 

앞선 세 가지 상황 중 첫 번째인 Accumulation부터 수식적으로 알아보겠습니다.

Surface Accumulation

앞서 배웠듯 $V_{g}<V_{fb}$ 인 경우 입니다.

게이트에 가한 전압 $V_{g}$ 는 $V_{g}=V_{fb}+V_{OX}+\phi_{s}$ 였습니다.

에너지 밴드로 생각한다면 처음 전압을 가하지 않은 상태($E_{F}$가 일정한 상태)에서 전압을 가해 형태가 변화했습니다. 즉 metal의 $E_{F}$와 Si의 $E_{F}$의 차이가 가한 전압만큼임을 알 수 있습니다. 물론 에너지의 단위이니 $qV_{g}$라고 해야겠죠.

$V_{g}=V_{fb}+V_{OX}+\phi_{s}=\frac{E_{Fm}-E_{Fs}}{q}$

 

$p_{s}=N_{a}e^{-q\phi_{s}/kT}$ 입니다? 왠진 모름…

  Qacc

p-type Si body에 축적된 전하를 $Q_{acc}$라 하겠습니다.

이를 수식으로 유도해봅시다.

gate에 축적된 전하량을 +Q라 하면 $Q=C_{ox}V_{ox}$ 입니다.

반대편 Si의 전하량은 -Q 이므로 $-Q=Q_{acc}=-C_{ox}V_{ox} = -C_{ox} (V_{G}-V_{FB})$ 입니다.

surface potential은 수백mV로 이를 무시하면 $V_{OX}=V_{g}-V_{fb}$ 입니다.

$Q_{acc}=-C_{Ox}(V_{G}-V_{fb})$

이때 $C_{OX}$ 는 $\epsilon_{SiO2}/T_{OX}$ $T_{OX}$는 절연체의 두께

일반적으로 substrate의 전하라는 뜻으로 $Q_{acc}$ 대신 $Q_{sub}$을 사용하기도 합니다.

---

Surface Depletion

두 번째 Depletion을 살펴보겠습니다.

전하량

공핍(depletion) 영역에는 $N_{a}$ 농도의 음이온이 있을 것이기에 전하밀도는 $-qN_{a}$ 입니다.

때문에 $W_{dep}$ 만큼의 delpletion 영역의 전하량은 $-qN_{a}W_{dep}$ 일 것입니다.

전하, 전기장, potential V에 대한 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.

---사진0---

Depletion Width $W_{dep}$

공핍 영역의 너비에 대해 알아봅시다.

첫 번째 방법
으로 그래프를 이용해 보면 우선 전하밀도 그래프를 그려봅시다.

이를 적분하면 전기장

두 번 적분하면 Potential 그래프가 나옵니다. 

흠.. p-type Si body 부분은 $\phi_{s}$ 이며 절연체 부분은 $V_{ox}$ 입니다.

때문에 전기장 그래프에서 Si body 부분의 넓이는 $\phi_{s}$ 와 같을 것입니다.

삼각형의 넓이를 구해보면 $\frac{1}{2}\frac{qN_{a}W^{2}}{\epsilon}$ 이며 다음과 같은 식이 나옵니다.

$\phi_{s}= \frac{1}{2}\frac{qN_{a}W^{2}}{\epsilon} $

$W=\sqrt{\frac{2\epsilon_{Si}\phi_{s}}{qN_{a}}}$

두 번째 방법
으로 조금 직관적으로 생각해봅시다.

이전 물리전자 과목에서 PN junction의 공핍 영역 너비를 구했습니다. 

이때 $W_{dep}= \sqrt{\frac{2\epsilon_{Si}\phi_{bi}}{q}(\frac{1}{N_{a}}+\frac{1}{N_{d}})} $ 였습니다.

이를 현재 상황에 대입해보면 n+ p 접합과 같이 생각하며 $N_{d}>>N_{a}$ 인 상황이기에 

  $W=\sqrt{\frac{2\epsilon_{Si}\phi_{s}}{qN_{a}}}$ 라는 결과가 나옵니다.

 

Gate Voltage

이제 게이트 전압인 $V_{g}$ 를 새롭게 나타내 봅시다.

처음 $V_{g}=V_{fb}+\phi_{s}+V_{ox}$ 를 도출해냈었는데요.

$\phi_{s}$와 $V_{ox}$를 새롭게 나타내보면

$ V_{g}=V_{fb}+\frac{qN_{a}W^{2}_{dep}}{2\epsilon_{s}}+\frac{qN_{a}W_{dep}}{C_{ox}} $ 로 나타낼 수 있습니다.

---

Threshold Condition

세 번째로는 임계 전압을 가지는 Threshold Condition 에 대해 알아보겠습니다.

우선 언제를 임계 전압을 가지는 상태라고 할지 정해야 할텐데요.

$\phi_{s}=2\phi_{B}$ 일 때 게이트 전압 $V_{g}$를 $V_{T}$ 라고 하겠습니다.

바로 와닿지 않을텐데 그림으로 보겠습니다. 

우선 $\phi_{B}$는 그림과 같이 $E_{i}-E_{F}$ 였습니다.

그리고 $\phi_{s}$는 에너지 밴드가 얼마나 밑으로 굽었는지 였는데요.

$\phi_{s}=2\phi_{B}$ 라는 말은 $E_{i}$가 $E_{F}$ 까지 굽어내려간만큼($\phi_{B}$만큼) 한 번 더 내려간다는 뜻입니다.

$E_{i}$와 $E_{F}$ 차이의 두 배 만큼 굽은 것이죠.

 

에너지 밴드를 보면 알 수 있다시피 계면에 전자가 존재합니다.
이때 $n=N_{a}$ 이며

또 이때의 공핍영역의 너비는 최대로, 즉 $W_{dep} $ max $=W_{T}$  인 것입니다.

Threshold Voltage

임계 전압(임계 상태에서 게이트 전압)을 구해봅시다. 

역시 Depletion 상황과 마찬가지로 $V_{g}=V_{fb}+\phi_{s}+V_{ox}$ 여기서 나아가보겠습니다.

 

$V_{OX}=-\frac{Q_{dep}}{C_{ox}}$ 입니다.

$\frac{qN_{a}W_{dep}}{C_{ox}}$에서 

 $W=\sqrt{\frac{2\epsilon_{Si}\phi_{s}}{qN_{a}}}$ 이고

$\phi_{s}=2\phi_{B}$ 인 상황이기에 전부 변환해주면 

전압을 $\phi_{B}$ 를 이용해 구할 수 있기도 합니다. 

 

식이 전부 달라 보이지만 전부 $V_{g}=V_{fb}+\phi_{s}+V_{ox}$ 에서 시작했습니다.

$V_{OX}$ 가 $ -\frac{Q_{dep}}{C_{ox}} $ 와 같고

$\frac{qN_{a}W_{dep}}{C_{ox}}$ 와 같음에서 시작하면 충분히 변환할 수 있을 것입니다.

---

Strong Inversion 

사실 임계 전압인 상태가 이미 Inversion 된 상태이죠.

임계 전압을 넘어서 더 강하게 inversion 된 상황을 보겠습니다.

Si body의 전하량을 보면 공핍 영역의 이온으로 인한 전하와 전자로 인한 전하가 있습니다.

전자로 인한 전하량($Q_{inv}$)과 depletion으로 인한 전하량($Q_{dep}$) 이 둘을 합쳐 $Q_{sub}$ 이라 합니다.

 

정리

	accumulation	depletion	inversion
전하량	$Q_{acc}=-C_{\textrm{ox}}(V_{g}-V_{fb})$	$Q_{dep}=-qN_{a}W_{dep}$	$Q_{inv}=-C_{\textrm{ox}}(V_{g}-V_{t})$