[물리전자] 아인슈타인 관계(Einstein Relationship)

저번 글에서 Drift와 Diffusion에 대해 간단히 알아보았는데요.

오늘은 Einstein Relationship에 대해 알아보겠습니다.

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전압, 전기장, $E_{c}$, $E_{v}$의 관계

 

그 전에 에너지밴드 다이어그램과 전기장, 전압의 관계를 알아보도록 하겠습니다.

 

 

에너지밴드 다이어그램(energy band diagram)에서 밴드에 경사가 있다는 것은

해당 위치에 전기장이 존재한다는 것과 전압의 분포 또한 알 수 있습니다.

 

전기장은 전압 V의 기울기 혹은 Ec, Ev  기울기입니다.

이에 다음과 같은 식을 알 수 있는데요.

 

$$E=-\frac{dv}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{c}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{v}}{dx}$$

위 그림에서 기울기가 양수인 에너지 밴드다이어그램에서 

전기장이 오른쪽으로 향함을 알 수 있습니다.

 

때문에 $E_{c}$ 에서 전자는 왼쪽,

$E_{v}$ 의 hole은 오른쪽으로 간다는 것을 알 수 있습니다.

 

이러한 점들을 이용해 Einstein 관계를 도출해보도록 하겠습니다.

 

평형상태에서 균일하지 않은 도핑에 의해 energy band에 기울기가 생길 수 있습니다.

이 경우에도 평형 상태이기에 전류는 흐르지 않습니다.

 

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아인슈타인 관계 <Einstein Relationship>

 

아인슈타인 관계는 확산 상수(Diffusion constant; $D_{n}$, $D_{p}$)와

Mobility $\mu$의 비를 나타내는 식 입니다.

 

그렇다면 diffusion 상수는 어떻게 나타낼 수 있을까요? 

 

 

앞의 내용에서 봤다시피 carrier 농도차가 존재하는 평형상태의 반도체를 가정해봅시다.

 

아시다시피 $E_{c}$가 Fermi level $E_{F}$에 가까울 수록 전자가 많고

에너지 밴드는 앞의 사진과 같은 경사진 모습을 나타낼 것입니다.

 

때문에 전압을 인가하지 않았지만

내부에는 전기장이 존재함을 알 수 있습니다.

 

하지만 평형상태에서 전류는 흐르지 않습니다.

 

이는 diffusion current와 drift current가 서로 상쇄하여

전류가 존재하지 않음을 의미합니다.

 

이것을 식으로 나타내보겠습니다.

$$J_{n} = J_{drift} + J_{diffusion}=0$$

diffusion, drift current의 합이 0 임을 이용해 식을 세울 것인데요.

해당 식은 이전 글에서 유도해보았습니다.

[물리전자] 캐리어 드리프트, 확산 (Carrier drift, diffusion) 1

 

우선 전자 electron의 경우를 보겠습니다.

$q\mu_{n} nE+qDn\frac{dn}{dx} = 0$

 

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다음은 hole의 경우를 보겠습니다.

마찬가지로

$q\mu_{p} pE - qDp\frac{dp}{dx} = 0$ 을 이용하면

 

$$\frac{D_{n}}{\mu}=\frac{kT}{q}$$

임을 알 수 있습니다.

 

 

 

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글쓴이는 전자공학 전공이 아니며 배우는 과정 중에 있습니다.

 

때문에 틀린 부분이 있을 수 있으니 이 점 유의해주시고

수정할 부분, 오타, 질문 있으시면 언제든지 댓글 남겨주세요.

 

감사합니다.