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저번 글에서 Drift와 Diffusion에 대해 간단히 알아보았는데요.
오늘은 Einstein Relationship에 대해 알아보겠습니다.
전압, 전기장, $E_{c}$, $E_{v}$의 관계
그 전에 에너지밴드 다이어그램과 전기장, 전압의 관계를 알아보도록 하겠습니다.
에너지밴드 다이어그램(energy band diagram)에서 밴드에 경사가 있다는 것은
해당 위치에 전기장이 존재한다는 것과 전압의 분포 또한 알 수 있습니다.
전기장은 전압 V의 기울기 혹은 Ec, Ev 기울기입니다.
이에 다음과 같은 식을 알 수 있는데요.
$$E=-\frac{dv}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{c}}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_{v}}{dx}$$
위 그림에서 기울기가 양수인 에너지 밴드다이어그램에서
전기장이 오른쪽으로 향함을 알 수 있습니다.
때문에 $E_{c}$ 에서 전자는 왼쪽,
$E_{v}$ 의 hole은 오른쪽으로 간다는 것을 알 수 있습니다.
이러한 점들을 이용해 Einstein 관계를 도출해보도록 하겠습니다.
평형상태에서 균일하지 않은 도핑에 의해 energy band에 기울기가 생길 수 있습니다.
이 경우에도 평형 상태이기에 전류는 흐르지 않습니다.
아인슈타인 관계 <Einstein Relationship>
아인슈타인 관계는 확산 상수(Diffusion constant; $D_{n}$, $D_{p}$)와
Mobility $\mu$의 비를 나타내는 식 입니다.
그렇다면 diffusion 상수는 어떻게 나타낼 수 있을까요?
앞의 내용에서 봤다시피 carrier 농도차가 존재하는 평형상태의 반도체를 가정해봅시다.
아시다시피 $E_{c}$가 Fermi level $E_{F}$에 가까울 수록 전자가 많고
에너지 밴드는 앞의 사진과 같은 경사진 모습을 나타낼 것입니다.
때문에 전압을 인가하지 않았지만
내부에는 전기장이 존재함을 알 수 있습니다.
하지만 평형상태에서 전류는 흐르지 않습니다.
이는 diffusion current와 drift current가 서로 상쇄하여
전류가 존재하지 않음을 의미합니다.
이것을 식으로 나타내보겠습니다.
$$J_{n} = J_{drift} + J_{diffusion}=0$$
diffusion, drift current의 합이 0 임을 이용해 식을 세울 것인데요.
해당 식은 이전 글에서 유도해보았습니다.
[물리전자] 캐리어 드리프트, 확산 (Carrier drift, diffusion) 1
현대 반도체 소자공학 (물리전자)의 2 Motion and Recombination of Electrons and Holes 2장에서는 Carrier인 전자와 hole의 움직임에 대해 배웁니다. 대표적으로 Drift와 Diffusion 에 반응해 움직이는데 이번 글에서
studentstory.tistory.com
우선 전자 electron의 경우를 보겠습니다.
$q\mu_{n} nE+qDn\frac{dn}{dx} = 0$
다음은 hole의 경우를 보겠습니다.
마찬가지로
$q\mu_{p} pE - qDp\frac{dp}{dx} = 0$ 을 이용하면
$$\frac{D_{n}}{\mu}=\frac{kT}{q}$$
임을 알 수 있습니다.
글쓴이는 전자공학 전공이 아니며 배우는 과정 중에 있습니다.
때문에 틀린 부분이 있을 수 있으니 이 점 유의해주시고
수정할 부분, 오타, 질문 있으시면 언제든지 댓글 남겨주세요.
감사합니다.
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