[전자장] 브루스터 각 (Brewster angle)

 

 

이전 시간까지 Nomal, Oblique incident 에서 전기장과 자기장의 반사, 투과에 대해 알아봤습니다.

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[전자장] 비스듬히 입사하는 파의 반사와 투과 (Oblique incident)

 

입사각에 따라 반사계수 $\Gamma$와 투과계수 $\tau$가 달라지는데요.

이 값들은 0이 될 수 있을까요?

 

결론부터 말하자면 $\tau$는 불가능하고 $\Gamma$는 0이 될 수 있습니다.

반사계수가 0 이면 반사가 일어나지 않을까요?     맞습니다.

 

그렇다면 어떤 경우에 반사가 일어나지 않을까요?

 

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브루스터 각 [Brewster angle]

반사계수가 0이 될 때의 입사각을 브루스터 각, Brewster angle 이라 합니다.

이때 각과 $\eta$ 등 요소와 관계를 알아봅시다.

 

Perpendicular polarization(TE) 의 반사계수

$$\Gamma=\frac{\eta_{2}cos\theta_{i}-\eta_{1}cos\theta_{t}}{\eta_{2}cos\theta_{i}+\eta_{1}cos\theta_{t}}$$

 

이때는 $\Gamma = 0$ 으로 식을 세우면

$tan\theta_{t}=tan\theta_{i}$ 

$\theta_{t}$와 $\theta_{i}$가 같을 수 없으므로 해가 존재하지 않습니다.

유도방법
분자인
$\eta_{2}cos\theta_{i}-\eta_{1}cos\theta_{t}=0$

$\frac{\eta_{2}}{\eta_{1}}=\frac{cos\theta_{t}}{cos\theta_{i}}$

snell's 법칙에서
$\frac{n_{1}}{n_{2}}=\frac{\eta_{2}}{\eta_{1}}=\frac{sin\theta_{t}}{sin\theta_{i}}$
즉
$\frac{cos\theta_{t}}{cos\theta_{i}}=\frac{sin\theta_{t}}{sin\theta_{i}}$

 

 

Parallel polarization(TM) 의 반사계수

$$\Gamma=\frac{\eta_{2}cos\theta_{t}-\eta_{1}cos\theta_{i}}{\eta_{2}cos\theta_{t}+\eta_{1}cos\theta_{i}} $$

 

$\Gamma = 0$ 을 정리하면

$tan\theta_{i}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$

\frac{n_{1}}{n_{2}}= \frac{\eta_{2}}{\eta_{1}}=\beta

유도 방법
$\eta_{2}cos\theta_{t}-\eta_{1}cos\theta_{i}=0$
$\eta_{2}cos\theta_{t}=\eta_{1}cos\theta_{i}$
$\frac{\eta_{2}}{\eta_{1}}=\frac{cos\theta_{i}}{cos\theta_{t}}$

$\frac{n_{1}}{n_{2}}=\frac{\eta_{2}}{\eta_{1}}=\frac{sin\theta_{t}}{sin\theta_{i}}$
$\frac{cos\theta_{i}}{cos\theta_{t}}=\frac{sin\theta_{t}}{sin\theta_{i}}$

$\theta_{t}$ 를 없애기 위해
$\frac{n_{1}}{n_{2}}=\frac{\eta_{2}}{\eta_{1}}=\beta$ 로 치환

$cos\theta_{i}=\beta cos\theta_{t}$ → $cos^{2}\theta_{i}=\beta^{2} cos^{2}\theta_{t}$
$sin\theta_{t}=\beta sin\theta_{i}$ → $sin^{2}\theta_{t}=\beta^{2} sin^{2}\theta_{i}$
→ 



~하면
$sin\theta_{i}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{n_{1}}{n_{2}})^2}}$
즉 $tan\theta_{i}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$

 

 

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그리고 참고로 입사각이 Brewster 각이 될 때 반사파와 투과파의 각은 90도를 이룹니다.

(사실 반사가 존재하진 않지만 가상의 반사파를 이용해봅시다? 아마도요!)

 

증명은 다음과 같이 할 수 있습니다.

$$tan\theta_{i}=\frac{n_{2}}{n_{1}}$$

(브루스터 각 유도 중 도출된 식)

 

$$\frac{sin\theta_{1}}{sin\theta_{t}} =\frac{n_{2}}{n_{1}}$$

(snell's 법칙)

 

$$ tan\theta_{i}= \frac{sin\theta_{1}}{sin\theta_{t}}$$

$$cos\theta_{i}=sin(90^{\circ}-\theta_{i}=sin\theta_{t}$$

$$90^{\circ}-\theta_{t}=\theta_{t}$$

 

$\theta_{i}+\theta_{t}=90^{\circ}$

이렇게 직각임을 알 수 있습니다.

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