[전자장] 브루스터 각 (Brewster angle)

 

 

이전 시간까지 Nomal, Oblique incident 에서 전기장과 자기장의 반사, 투과에 대해 알아봤습니다.

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[전자장] 비스듬히 입사하는 파의 반사와 투과 (Oblique incident)

 

입사각에 따라 반사계수 $\mathrm{\Gamma }$와 투과계수 $\tau$가 달라지는데요.

이 값들은 0이 될 수 있을까요?

 

결론부터 말하자면 $\tau$는 불가능하고 $\mathrm{\Gamma }$는 0이 될 수 있습니다.

반사계수가 0 이면 반사가 일어나지 않을까요?     맞습니다.

 

그렇다면 어떤 경우에 반사가 일어나지 않을까요?

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브루스터 각 [Brewster angle]

반사계수가 0이 될 때의 입사각을 브루스터 각, Brewster angle 이라 합니다.

이때 각과 $\eta$ 등 요소와 관계를 알아봅시다.

 

Perpendicular polarization(TE) 의 반사계수

$$\mathrm{\Gamma }=\frac{{\eta }_{2}cos{\theta }_i-{\eta }_{1}cos{\theta }_t}{{\eta }_{2}cos{\theta }_i+{\eta }_{1}cos{\theta }_t}$$

 

이때는 $\mathrm{\Gamma }=0$ 으로 식을 세우면

$tan{\theta }_t=tan{\theta }_i$ 

${\theta }_t$와 ${\theta }_i$가 같을 수 없으므로 해가 존재하지 않습니다.

유도방법
분자인
${\eta }_{2}cos{\theta }_i-{\eta }_{1}cos{\theta }_t=0$

$\frac{{\eta }_2}{{\eta }_1}=\frac{cos{\theta }_t}{cos{\theta }_i}$

snell's 법칙에서
$\frac{n_1}{n_2}=\frac{{\eta }_2}{{\eta }_1}=\frac{sin{\theta }_t}{sin{\theta }_i}$
즉
$\frac{cos{\theta }_t}{cos{\theta }_i}=\frac{sin{\theta }_t}{sin{\theta }_i}$

 

 

Parallel polarization(TM) 의 반사계수

$$\mathrm{\Gamma }=\frac{{\eta }_{2}cos{\theta }_t-{\eta }_{1}cos{\theta }_i}{{\eta }_{2}cos{\theta }_t+{\eta }_{1}cos{\theta }_i}$$

 

$\mathrm{\Gamma }=0$ 을 정리하면

$tan{\theta }_i=\frac{n_2}{n_1}$

\frac{n_{1}}{n_{2}}= \frac{\eta_{2}}{\eta_{1}}=\beta

유도 방법
${\eta }_{2}cos{\theta }_t-{\eta }_{1}cos{\theta }_i=0$
${\eta }_{2}cos{\theta }_t={\eta }_{1}cos{\theta }_i$
$\frac{{\eta }_2}{{\eta }_1}=\frac{cos{\theta }_i}{cos{\theta }_t}$

$\frac{n_1}{n_2}=\frac{{\eta }_2}{{\eta }_1}=\frac{sin{\theta }_t}{sin{\theta }_i}$
$\frac{cos{\theta }_i}{cos{\theta }_t}=\frac{sin{\theta }_t}{sin{\theta }_i}$

${\theta }_t$ 를 없애기 위해
$\frac{n_1}{n_2}=\frac{{\eta }_2}{{\eta }_1}=\beta$ 로 치환

$cos{\theta }_i=\beta cos{\theta }_t$ → $co{s}^2{\theta }_i={\beta }^{2}co{s}^2{\theta }_t$
$sin{\theta }_t=\beta sin{\theta }_i$ → $si{n}^2{\theta }_t={\beta }^{2}si{n}^2{\theta }_i$
→ 



~하면
$sin{\theta }_i=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{n_1}{n_2}{)}^2}}$
즉 $tan{\theta }_i=\frac{n_2}{n_1}$

 

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그리고 참고로 입사각이 Brewster 각이 될 때 반사파와 투과파의 각은 90도를 이룹니다.

(사실 반사가 존재하진 않지만 가상의 반사파를 이용해봅시다? 아마도요!)

 

증명은 다음과 같이 할 수 있습니다.

$$tan{\theta }_i=\frac{n_2}{n_1}$$

(브루스터 각 유도 중 도출된 식)

 

$$\frac{sin{\theta }_1}{sin{\theta }_t}=\frac{n_2}{n_1}$$

(snell's 법칙)

 

$$tan{\theta }_i=\frac{sin{\theta }_1}{sin{\theta }_t}$$

$$cos{\theta }_i=sin({90}^{\circ }-{\theta }_i=sin{\theta }_t$$

$${90}^{\circ }-{\theta }_t={\theta }_t$$

 

${\theta }_i+{\theta }_t={90}^{\circ }$

이렇게 직각임을 알 수 있습니다.

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