[전자장] 전송선 envelope, Partial standing waves 부분 정상파

 

 

 

Standing Waves

두 진행파가 만나 Asin(x+t)와 Asin(x-t)

2Acos(t)sin(x)를 형성한다고 해봅시다.
이 결과물은 정상파입니다.

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%95%EC%83%81%ED%8C%8C

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이를 이해하기 위해 sin(x)를 기준으로 봅시다.
sin(x) 인데 진폭이 2Acos(t)로 변화하는 파라고 생각하면 식을 머릿속으로 정상파로 생각할 수 있습니다.

이 파형 움직임의 경계를 envelope라고 합니다.

기존의 파장이 $\lambda$ 였다면
이러한 Envelope는 $\frac{\lambda}{2}$의 파장을 가지게 됩니다.

이는 그래프를 보면 직관적으로도 알 수 있습니다.

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Partial Standing Waves

앞선 예에서는 크기가 같은 진행파가 만났지만
만약 크기가 다른 진행파가 만난다면 envelope이 어떻게 될까요?

1. 직관적 방법

마찬가지로 위의 예를 이용해 이해할 수 있습니다.
위에서는 두 진행파의 크기가 A였고
크기가 A인 두 진행파가 만나 2A 크기의 정상파가 만들어졌습니다.

이번에는 크기가 100, 150인 진행파가 만난다고 생각해봅시다.
150인 진행파를 크기가 (100+50)인 진행파라고 할 수도 있습니다.

100 진행파와 100+50 진행파가 만나
200 정상파 + 50 진행파가 된다고 볼 수 있겠습니다.

따라서 결과는 다음과 같습니다.

사진 첨부

중앙의 채워진 부분은 진행파 성분으로 인한 것이며
위아래 부분은 정상파 성분으로 보면 될 것 입니다.

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standing wave 반사계수(1)

이를 전송선에 대입해보겠습니다.

앞에서 배운 전송선에서 입사파와 반사파가 만날 때를 생각해봅시다.

쉽게 입사파 성분을 A 반사파 성분을 B 라 생각하면
반사계수는 B/A 였습니다. 

이 두 파장이 만날 때 위의 직관적 방법을 적용해봅시다.

A 크기 입사파와 $A \Gamma$ 반사파가 만나면
$A(1-\Gamma)$ 정상파 성분과
$2\Gamma$의 진행파 성분으로 볼 수 있을 것입니다.

때문에 Envelope 에서 MAX 지점(최고 지점)은 $A(1+|\Gamma|)$
MIN 지점(최저 지점)은 $A(1-|\Gamma|)$
라고 할 수 있습니다.

즉 min 지점과 max 지점의 비를 이용해 $\Gamma$를 구할 수 있습니다.

 

예시

다음과 같은 그래프에서 max : 1.3, min : 0.7 임을 알 수 있습니다. 

$A(1+|\Gamma|) = 1.3$
$A(1-|\Gamma|) = 0.7$
입니다.

$\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}=\frac{1.3}{0.7}=1.857$

계산해보면

2.857x = 0.857

$|\Gamma|=0.3$

 

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2. 수학적 방법

파형의 Envelope만 보고자 할 때 크기의 켤레복소수 곱을 활용할 수 있습니다.

파형에서 Amplitude만 보고싶다면 켤레복소수를 곱해
복소수의 위상정보를 없앨 수 있습니다.

결국 켤레복소수를 곱한 후 $\sqrt{ }$를 취하면 파형의 크기만을 알 수 있고
Envelope의 식을 구할 수 있습니다.

그 결과 다음과 같은 식이 나옵니다.

$|\widetilde{V}(z)|=\sqrt{V_{0}^{+}(e^{-j\beta z}+|\Gamma|e^{j\theta _{r}}e^{j\beta z}) V_{0}^{+*}(e^{j\beta z}+|\Gamma|e^{-j\theta _{r}}e^{-j\beta z})} $

$= |V_{0}^{+}| \sqrt{ 1+|\Gamma|^{2}+2|\Gamma|cos(2\beta z +\theta_{r}) }$ 

유도방법

 

Standing wave 반사계수(2)

방법 2에서도 마찬가지로 반사계수를 수학적으로 구할 수 있습니다.

똑같이 파형이 나타난 그래프를 보고 $\Gamma$ 를 구할 수 있습니다.

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방법2의 식을 유도하거나 외워도 되지만
다만 좀 더 직관적인 방법 1이 좋지 않나 생각합니다.

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shift $d$ 와 각 $\theta_{\Gamma}$의 관계

반사계수가 실수라면 max 지점에서 반사가 일어납니다.

만약 반사계수가 복소수라면 위상이 바뀌어 반사가 일어납니다?

즉 반사 지점에서 파형이 shift된 것처럼 보입니다. 
위의 반사계수를 구한 그래프의 예에서도 파형이 평행이동(shift)된 것을 알 수 있습니다.

이때 반사계수의 각 $\theta_{\Gamma}$를 구해봅시다.
이 방법도 직관적 방법과 수학적 방법이 있습니다.

1. 직관

우선 $\Gamma=|\Gamma| e^{j\theta}$ 였습니다.

지금까지의 정상파(Envelope?)가 한 주기 shift 되기위해선 $\frac{\lambda}{2}$ 이동해야 합니다.
$theta=2\pi$ 즉 360도라면
$ \frac{\lambda}{2}$ 이동한다고 볼 수 있습니다.

즉 반사면에서 거리 d만큼 평행이동 했다면 

$2\pi:\frac{\lambda}{2}=\theta:d$

라고 할 수 있습니다. 

굳이 식을 정리하면 
$\theta = \frac{d}{\lambda / 2}2\pi$
입니다.

참고로 반사면에 max 지점이 있는 파형 기준으로
파형이 왼쪽으로 이동한 것처럼 보이면 (+) 거리 이동
오른쪽이면 (-) 거리 이동 입니다.(max 지점 가릴 때)

2. 수학

Envelope를 구한 식에서 $cos(2\beta d - \theta_{\Gamma}$ 였습니다.
이를 $2\beta$ 로 묶어내면 $2\beta (d-\frac{\theta}{2\beta}$ 이며
shift 거리가 $ \frac{\theta}{2\beta}$ 라고 생각할 수 있습니다.

때문에 같은 식이 나오게 됩니다.

 

앞 부분에서 말했듯 직관적인 방법을 더 선호합니다.