[신호및시스템] Continuous Time Fourier Series

 

 

 

신호 $x(t)$를 표현하기 위한 방법..?

 basis $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$  와 $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ 로 (3, 2) 를 표현할 수 있듯이

$e^{jk{\omega }_{0}t}$ 를 basis 로 보는 linear combination 

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$

이것을 Signal $x(t)$라 한다.

이게 가능하려면 
inner product space 이면,, 

$e^{jk{\omega }_{0}t}$ 를 basis 로 보는 linear combination
inner product 해서 0이면 수직이고 그렇다면 독립이므로 basis로 사용할 수 있다?

내적의 정의
${\int }_{t_0}^{t_0+T}{x}_1(t)x_2^{\ast }(t)dt$

그렇다면 모든 주기함수를 표현할 수 있냐

 

 

$a_k$ 는 계수

k번째 basis $e^{jk{\omega }_{0}t}$가 얼마나 ($a_k$) 쓰여야 $x(t)$를 표현할 수 있을까..

Contribution 을 어떻게 구할까

신호에서 $e^{jk{\omega }_{0}t}$ 를 내적해보자

$x(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$

${\int }_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-jr{\omega }_{0}t}dt$
$={\int }_{t_0}^{t_0+T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}{e}^{-jr{\omega }_{0}t}dt$