[신호및시스템] Continuous Time Fourier Series

 

 

 

신호 $x(t)$를 표현하기 위한 방법..?

 basis $\begin{bmatrix}  1\\0 \end{bmatrix}$  와 $\begin{bmatrix}  0\\1 \end{bmatrix}$ 로 (3, 2) 를 표현할 수 있듯이

$e^{jk\omega_{0} t}$ 를 basis 로 보는 linear combination 

$ \sum_{k=-\infty }^{\infty}a_{k}e^{jk\omega_{0} t} $

이것을 Signal $x(t)$라 한다.

이게 가능하려면 
inner product space 이면,, 

$e^{jk\omega_{0} t}$ 를 basis 로 보는 linear combination
inner product 해서 0이면 수직이고 그렇다면 독립이므로 basis로 사용할 수 있다?

내적의 정의
$\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} x_{1}(t) x_{2}^{*}(t) dt$

그렇다면 모든 주기함수를 표현할 수 있냐

 

 

$a_{k}$ 는 계수

k번째 basis $e^{jk\omega_{0} t}$가 얼마나 ($a_{k}$) 쓰여야 $x(t)$를 표현할 수 있을까..

Contribution 을 어떻게 구할까

신호에서 $e^{jk\omega_{0} t}$ 를 내적해보자

$x(t) = \sum_{k=-\infty }^{\infty}a_{k}e^{jk\omega_{0} t} $

$\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} x(t) e^{-jr\omega_{0} t} dt $
$= \int_{t_{0}}^{t_{0}+T} \sum_{k=-\infty }^{\infty}a_{k}e^{jk\omega_{0} t} e^{-jr\omega_{0} t} dt$