[신호및시스템] CTFS CTFT DTFS DTFT DFT 요약

 

 

계절학기로 신호및시스템을 들으니 이게 배운 게 배운 것 같지가 않아서 간단하게만 정리하려고 한다.
혹시 또 볼 일이 있을지도?

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CTFS

연속적 주기 신호를 CTFS 변환하게 되면 비연속적 비주기 신호가 된다.
continuous periodic -> discrete aperiodic

$x(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{C}_x[k]e^{j2\pi kt/T}$

$C_x[k]=\frac{1}{T}{\int }_{T}x(t)e^{-j2\pi kt/T}dt$

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CTFT

연속적 비주기 신호를 CTFT 변환하게 되면 연속적 비주기 신호가 된다.
continuous aperiodic -> continuous aperiodic

비주기 신호를 변환하는 방법은 CTFS에서 출발한다.
CTFS에서 신호의 주기를 무한대로 보낸다면 한 사이클만 존재하는 신호가 될 것이다.
즉 비주기라고 할 수 있다. 

$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{infty}^{\mathrm{\infty }}X(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$
$={\int }_{infty}^{\mathrm{\infty }}X(f)e^{2\pi ft}df$

$X(f)={\int }_{\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t)e^{-j2\pi kt}dt$
or $ X(j\omega)= \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t}dt $

 

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DTFS

비연속적 주기 신호를 DTFS 변환하게 되면 비연속적 주기 신호가 된다.
discrete periodic -> discrete periodic

$x[n]=\sum _{k=<N>}{C}_x[k]e^{j2\pi kn/N}$

$C_x[k]=\frac{1}{N}\sum _{k=<N>}x[n]e^{-j2\pi kt/N}$

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DTFT

비연속적 비주기 신호를 CTFT 변환하게 되면 연속적 주기 신호가 된다.
discret aperiodic -> continuous periodic

CTFS에서 CTFT를 유도했듯이 마찬가지로
주기함수에서 T를 무한대로 보내 구할 수 있다.

$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X(e^{j\mathrm{\Omega }})e^{j\mathrm{\Omega }n}d\mathrm{\Omega }$

$X(e^{j\mathrm{\Omega }})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{n=\mathrm{\infty }}x[n]e^{-j\mathrm{\Omega }n}$

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	Continuous	Discrete
FS	CTFS	DTFS	discrete로 변환
FT	CTFT	DTFT	continuous로 변환
	aperiodic 으로 변환	periodic 으로 변환

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DFT

DTFS에서 DFT를 설명하는 강의도 있고
DTFT를 구하고 DFT를 설명하는 강의도 있었다.

우리는 비주기 연속 함수를 DTFT를 하는 방법을 구했었다.
이때 결과로 연속적 주기 함수가 나왔다.

다만 컴퓨터가 신호를 처리하기 위해선 discrete한 함수가 필요할 것이다.

때문에 DTFT한 결과를 discrete로 만들어 준 것이 DFT 이다.
maybe...

그런데 놀랍게도 식은 
X[k]는 DTFS의 C[k]에 N만 곱해주면 된다!! wow

$x[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=<N>}{C}_x[k]e^{j2\pi kn/N}$

$X[k]=\sum _{k=<N>}x[n]e^{-j2\pi kt/N}$

 

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$f$ 와 $\omega$ 의 변환

$f$에 대한 식으로 나타낼 수도 있고 $\omega$ 에 대한 식으로 나타낼 수 도 있는데
$\omega =2\pi f$ 이므로 자유롭게 변환이 가능하다.

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이게 $C[k]X(j\omega )X(e^{j\mathrm{\Omega }})X(f)X(F)$ 등등 너무 다양하게 사용하던데 가르치는 사람 마음인지...
$X(e^{j\mathrm{\Omega }})$ 이것도 왜 이렇게 사용하는지 모르겠다.

시그마 범위도 강의하는 사람마다 좀 달라서 n=<N>이 맞는지 모르겠다 ㅋㅋ...

심지어 교재도 오타가 너무 많아서 같은 식인데 어디엔 $2\pi$ 가 빠져있고
교수님은 물어도 답이 없고..

 $\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{C}_x[k]e^{jk{\omega }_{0}t}$