[전자장] 광도파로 (Waveguide) - Effective wavelength 파장

 

광도파로 파트 ------

도파로를 통해 진행하는 파는 어떻게 될까?
cos(kz-wt) 와 coskzcoswt 서로 상관관계에 있다.
진행파와 정상파, 
두 진행파를 합하면 정상파가 나온다.
일반해는 e J(kr) = e -jkz
 
만약 파동이 z축으로 진행한다면
(x축으로 정상파, y축으로 정상파, z축으로 진행파)
$$\widetilde{E}=\hat{x}\widetilde{E}_{x}+\hat{y}\widetilde{E}_{y}+\hat{z}\widetilde{E}_{z}$$
$$\widetilde{H}=\hat{x}\widetilde{H}_{x}+\hat{y}\widetilde{H}_{y}+\hat{z}\widetilde{H}_{z}$$
에서 
$\widetilde{E}_{x}$ 를
정상파 부분(x,y성분)을 $\widetilde{e}_{x}(x,y)$로 나타낼 수 있고
진행파 부분(z성분) $e^{jk_{z}z}$ 으로 나타낼 수 있으니
$$ \widetilde{E}_{x} = \widetilde{e}_{x}(x,y) e^{jk_{z}z} $$
이다.
마찬가지로 $ \widetilde{E}_{x} \widetilde{E}_{y} \widetilde{E}_{z} \widetilde{H}_{x} \widetilde{H}_{y} \widetilde{H}_{z} $
를 나타낼 수 있다.
페이저 도메인에서 맥스웰 방정식을 활용해 식을 얻을 수 있다. 
$$\triangledown \times \widetilde{E} = -j\omega \mu \widetilde{H}$$
$$ \triangledown \times \widetilde{H} = j\omega \varepsilon \widetilde{H} $$
다음과 같은 결론식이 나온다
사진 첨부

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결론
전부 Ez와 Hz로 표현이 된다.
즉 Ez와 Hz를 구하면 나머지를 알 수 있다.
 
일반해로 ez(x,y) = X(x)Y(y) 가 나온다?
$= (Acosk_{x}x + Bsink_{x}x)(Ccosk_{y}y+Dsink_{y}y)$
에서 $\widetilde{e}_{z}=0$ , $x=0, a / y=0,b $ 에서??????

0으로 시작하도록 A와 C가 0으로 가야한다?
$k_{x}= \frac{m\pi}{a} , k_{y}=\frac{n\pi}{b}$ 라고 하면
결론
$$  \widetilde{E} = E_{0}sin(\frac{m\pi x}{a})sin(\frac{n\pi y}{b})e^{-j\beta z}$$
이다????
즉 정수 m,n 결정되면 모든 것이 결정이 된다. 

 
광도파로 유효파장 파트---------

광도파로 파트에서 Effective wavelength에 대해 알아보겠습니다.
찾아보니 유효파장 이라고 나오긴 하더라고요.
Plane wave 를 생각해볼까요?
이전에 평면파에 대해 다룰 때 
Helmholtz 헬름홀츠 방정식에 대해 배웠습니다. 
이 방정식의 해를 다음과 같이 생각할 수 있습니다.
cos()cos()cos()=cos(kx+ky+kz)
이때 k
여기서 해를 벡터로 나타낼 수 있습니다.
$k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z=( k_{x}\hat{x}+k_{y}\hat{y}+k_{z}\hat{z})(x\hat{x}+y\hat{y}+y\hat{z})$
$=k\dot r$

앞 항은 k벡터이며, 뒤 항은 위치벡터 r벡터

k벡터의 의미?
r은 위상을 의미하며
k벡터는 파의 진행방향을 가리키며, 크기는 파수이다.

파장을 구했을 때 방향이 달라도 일반해로 나올 수 있습니다.
파장을 분리한다고 생각하면 쉽습니다.
예를 들어 k가 5인 파장이 있다고 합시다.
x축으로만 k가 5일수도 있지만
x축으로 4, y축으로 3이라면 결국 k가 5가 되어 
방향만 다른 같은 파장이라 할 수 있습니다.
이때 x축으로 진행하는 파장 / y축으로 진행하는 파장 
두 성분으로 나눌 수 있는데요.
이를 effective wavelength(파장) 이라 합니다.
 
이 effective 파장은 기존 파장보다 작아질 수 없음을 명심하셔야 합니다.
그 이유를 k부터 살펴봅시다.
아까 k를 두 성분으로 나눠본다고 하였는데요.
$k_{x}$와 $k_{y}$ 라고 해봅시다.
그렇다면 $k_{x}^{2}+k_{y}^{2}=k^{2}$ 이고
$k_{x}$와 $k_{y}$는 k보다 작은 값을 가질 수 밖에 없습니다.

예를들어 만약 $k_{x}$가 0이고 y성분은 k와 같다면 이는 본 파장이 y 방향으로 이동하는 것이겠죠!

즉 파수 $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ 이니
파장 $\lambda$는 기존 파장보다 값이 클수밖에 없습니다!
 
다음 글에서는 본격적으로 도파로(waveguide)를 통해 진행하는 파는
어떻게 될 것인지에 대해 알아보겠습니다.
 

광도파로 차단주파수 파트 --------------------

차단주파수에 대해 알아보겠습니다.
도파로가 정해졌을 때 도파로를 통과할 수 있는 주파수가 존재합니다.
이때 그 경계를 차단 주파수, cutoff frequency라 하며
차단 주파수보다 높아야 통과할 수 있습니다.
즉 통과할 수 있는 최소 주파수이기도 하고
통과할 수 없는 최대 주파수이기도 하겠죠
 
그렇다면 차단 주파수를 어떻게 구할 수 있을까요?
$k_{c}^{2} = k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + \beta ^{2}$ 에서 최소값을 구하기 위해선
$\beta=0$이면 좋겠죠. 또 이전 글에서 k를 m과 n으로 나타냈는데 m과n에 1을 대입하겠습니다.
또한 $k_{c}^{2}=\omega^{2}\mu\varepsilon$ 이고
$\omega=2\pi f$이므로
주파수 f를 구할 수 있습니다.
파장에서 a b
 
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