[수학] 역삼각함수와 쌍곡함수

역삼각함수

삼각함수는 일대일대응이 아닌 주기함수이므로 정의역을 제한해 역함수를 정의

$sin$ 함수 정의역 [-π/2, π/2] 제한 

역사인함수 $arcsin$ 정의역[-1, 1] 치역[-π/2, π/2]

 

$cos$ 함수 정의역 [0, π] 제한

역코사인함수 $arccos$ 정의역[-1, 1] 치역[0, π]

 

$tan$함수 정의역 (-π/2, π/2) 제한

역탄젠트함수 $arctan$ 정의역(-∞, ∞) 치역(-π/2, π/2)

 

 

역삼각함수의 도함수

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쌍곡함수

$coshx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

 

$sinhx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

매개변수화 하면 쌍곡선의 일부

 

$x=cosht, y=sinht$

$cosh^2t-sinh^2t=1$

 

 

 

 

쌍곡함수의 역함수 미분

 

$\frac{d}{dx}cosh^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} , (x>1)$

$\frac{d}{dx}sinh^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{d}{dx}tanh^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

 

증명방법

$y=sinh^{-1}x$로 두고 미분, $cosh^2x-sinh^2=1$이용하기